Cours
MATHÉMATIQUES · Tle C-E
Chapitre : Espaces vectoriels et applications linéaires · Leçon 1

Espaces vectoriels sur ℝ

Structure, sous-espaces, bases, dimension.
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Cours de Mathématiques : « Espaces vectoriels sur ℝ », proposé par ndolomathndolomath
Espaces vectoriels
💡 Idée principale : Un espace vectoriel réel est un ensemble muni d’une addition interne et d’une multiplication par les réels vérifiant huit axiomes. Les sous-espaces vectoriels sont les parties non vides stables par combinaison linéaire. Une base est une famille libre et génératrice ; toutes les bases ont le même nombre d’éléments, la dimension.
Ce que tu vas apprendre
  1. Vérifier qu’un ensemble est un espace vectoriel ou un sous-espace vectoriel.
  2. Étudier la liberté et le caractère générateur d’une famille.
  3. Déterminer une base et la dimension d’un sous-espace ; utiliser les coordonnées.
  4. Reconnaître une somme directe de deux sous-espaces.
Pourquoi cette leçon ?
Vecteurs de l’espace, polynômes, suites, fonctions, solutions d’équations différentielles linéaires : tous ces objets s’additionnent et se multiplient par des réels. Le langage des espaces vectoriels permet de les traiter de la même façon.
Prérequis : vérifie tes bases
1
La famille ((1;2;0),(2;4;0)) est-elle libre ?
2
Résous x+y−z=0, 2x−y=0.
3
Écris 3X2−X+4 comme combinaison de 1, X, X2.
Situation problème : Les solutions d’une équation

On considère l’ensemble F des triplets (x;y;z) de réels tels que x+2y−z=0. Un élève affirme que F est un « plan vectoriel » et qu’on peut décrire toutes ses solutions avec seulement deux triplets.
A-t-il raison ?

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Activité d’apprentissage

On étudie F dans R3.

  1. Montre que F contient (0;0;0) et qu’il est stable par addition et multiplication par un réel.
  2. Exprime z en fonction de x et y, puis écris tout élément de F comme combinaison de deux triplets.
  3. Montre que ces deux triplets forment une famille libre.
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Espace et sous-espace
F⊂E est un sous-espace vectoriel si F contient 0→ et si pour tous u→,v→∈F et λ∈R : u→+λv→∈F. L’ensemble des combinaisons linéaires d’une famille est un sous-espace : le sous-espace engendré.
Exemple à traiter : Montre que l’ensemble des fonctions f dérivables sur R telles que f′=2f est un sous-espace vectoriel des fonctions de R dans R.
R2 · Familles libres, génératrices, bases
Une famille est libre si la seule combinaison linéaire nulle a tous ses coefficients nuls ; génératrice si tout vecteur en est combinaison. Une base est libre et génératrice ; tous les vecteurs s’y décomposent de manière unique (coordonnées). En dimension n, une famille libre (ou génératrice) de n vecteurs est une base.
Exemple à traiter : Montre que ((1;1;0),(0;1;1),(1;0;1)) est une base de R3 et calcule les coordonnées de (2;3;5).
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R3
Somme directe
F et G sont supplémentaires (E=F⊕G) si tout vecteur de E s’écrit de manière unique f→+g→ avec f→∈F, g→∈G ; il suffit que F∩G={0→} et dim⁡F+dim⁡G=dim⁡E.
Exemple à traiter : Montre que le plan F de la situation et la droite G engendrée par (1;0;0) sont supplémentaires dans R3.
Erreurs fréquentes
⚠ Vecteur nul
Un ensemble qui ne contient pas 0→ n’est jamais un sous-espace.
⚠ Réunion
La réunion de deux sous-espaces n’est pas en général un sous-espace.
Exercice d’application
  1. Détermine une base et la dimension de H={(x;y;z;t)∈R4∣x+y=0 et z−t=0}.
  2. Montre que (1,X,X(X−1)) est une base de l’espace des polynômes de degré au plus 2.
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
Sous-espace : 0→∈F, stable par u→+λv→. Base = libre + génératrice ; dimension = cardinal d’une base. E=F⊕G : F∩G={0→} et dimensions qui s’ajoutent.
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