Cours

MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Coniques · Leçon 5

Similitudes directes et coniques

Image d’une conique par une similitude.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Similitudes directes et coniques », proposé par ndolomathndolomath

Similitudes et coniques

💡 Idée principale : Une similitude directe conserve les rapports de distances et transforme droites en droites. Elle transforme donc une conique de foyer

F

, directrice

(D)

et excentricité

e

en une conique de foyer

s (F)

, directrice

s (D)

et même excentricité

e

: la nature est conservée. Toutes les paraboles sont semblables, ainsi que toutes les ellipses de même excentricité.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer l’image d’une conique par une similitude directe.
Savoir que l’excentricité est conservée par similitude.
Utiliser une similitude pour obtenir l’équation réduite d’une conique.

Pourquoi cette leçon ?

Agrandir ou faire tourner le plan d’une antenne parabolique ne change pas sa forme : c’est toujours une parabole. Les similitudes classent les coniques par « forme ».

Prérequis : vérifie tes bases

Écris l’écriture complexe de la similitude de centre

O

, rapport 2, angle

\frac{π}{2}

Rappelle que

s

multiplie les distances par

k

Donne l’excentricité de l’ellipse

\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1

Situation problème : Les deux paraboles

Un élève affirme que les paraboles $y = x^{2}$ et $y = 3 x^{2}$ n’ont « pas la même forme », car la seconde est plus fermée.
Peut-on passer de l’une à l’autre par une similitude ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Similitudes directes et coniques », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On cherche une homothétie de centre $O$ qui envoie la première sur la seconde.

Soit $h$ l’homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ . Écris les coordonnées de $M^{'}$ image de $M (x; x^{2})$ .
Choisis $k$ pour que $M^{'}$ soit sur $y = 3 x^{2}$ .
Conclus.
Réponds à la situation problème.

Image d’une conique

s

est une similitude directe de rapport

k

, l’image de la conique

(F, D, e)

est la conique

(s (F), s (D), e)

: même nature, même excentricité.

Exemple à traiter : Détermine l’image de la parabole de foyer

F (1; 0)

et de directrice

x = - 1

par la rotation de centre

O

et d’angle

\frac{π}{2}

R2 · Équation de l’image

Pour obtenir l’équation de l’image de

C

par

s

, on exprime

z

en fonction de

z^{'}

(réciproque) et on remplace dans l’équation de

C

Exemple à traiter : Détermine l’équation de l’image de l’ellipse

\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1

par la similitude

z^{'} = 2 z + 1 + i

Réduction par une rotation

Une équation avec un terme en

x y

peut se réduire par une rotation du repère. Par exemple,

x y = 1

est l’image de l’hyperbole équilatère

X^{2} - Y^{2} = 2

par la rotation d’angle

\frac{π}{4}

Exemple à traiter : Montre que la courbe d’équation

x y = 2

est une hyperbole dont on donnera l’excentricité et les foyers.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Similitudes directes et coniques », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Excentricité

Une similitude ne change pas l’excentricité, même si elle agrandit la courbe.

⚠ Réciproque

Pour l’équation de l’image, on utilise la réciproque de

s

Exercice d’application

Montre que toutes les paraboles sont semblables (images les unes des autres par une similitude).
Détermine l’image de l’hyperbole $x^{2} - y^{2} = 1$ par la similitude de centre $O$ , rapport $\sqrt{2}$ et angle $\frac{π}{4}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Similitude : conique

(F, D, e) \to (s (F), s (D), e)

, même nature. Équation de l’image : par la réciproque. Toutes les paraboles sont semblables.