Cours

MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Coniques · Leçon 4

Tangente à une conique

Équation de la tangente en un point.

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Cours de Mathématiques : « Tangente à une conique », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : En un point

M_{0} (x_{0}; y_{0})

d’une conique d’équation réduite, la tangente s’obtient par dédoublement :

\frac{x x_{0}}{a^{2}} + \frac{y y_{0}}{b^{2}} = 1

pour l’ellipse,

\frac{x x_{0}}{a^{2}} - \frac{y y_{0}}{b^{2}} = 1

pour l’hyperbole,

y y_{0} = p (x + x_{0})

pour la parabole. Les tangentes ont des propriétés optiques remarquables liées aux foyers.

Ce que tu vas apprendre

Écrire l’équation de la tangente à une conique en un point par dédoublement.
Déterminer les tangentes à une conique parallèles à une direction donnée ou issues d’un point.
Connaître la propriété de la tangente comme bissectrice des rayons focaux.

Pourquoi cette leçon ?

Dans un phare de voiture, la lampe est au foyer d’un miroir parabolique : tous les rayons repartent parallèles. Ce phénomène s’explique par la propriété de la tangente à la parabole.

Prérequis : vérifie tes bases

Écris l’équation de la tangente au cercle

x^{2} + y^{2} = 25

au point

A (3; 4)

Calcule la dérivée de

y = \sqrt{4 x}

Écris la condition pour qu’une droite

y = m x + k

coupe une courbe en un seul point.

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Situation problème : Le phare de la voiture

Le miroir d’un phare a pour profil la parabole $y^{2} = 4 x$ , et l’ampoule est placée au foyer $F (1; 0)$ . Un rayon lumineux part de $F$ et se réfléchit au point $M_{0} (4; 4)$ .
Quelle est la tangente au miroir en $M_{0}$ ? Le rayon réfléchi est-il parallèle à l’axe ?

Activité d’apprentissage

On utilise la tangente en $M_{0}$ et la loi de la réflexion.

Vérifie que $M_{0}$ est sur la parabole et écris la tangente en $M_{0}$ par dédoublement.
Calcule les angles que fait la tangente avec $(M_{0} F)$ et avec la parallèle à l’axe passant par $M_{0}$ .
Conclus avec la loi de la réflexion.
Réponds à la situation problème.

Tangente par dédoublement

M_{0} (x_{0}; y_{0})

: ellipse

\frac{x x_{0}}{a^{2}} + \frac{y y_{0}}{b^{2}} = 1

; hyperbole

\frac{x x_{0}}{a^{2}} - \frac{y y_{0}}{b^{2}} = 1

; parabole

y^{2} = 2 p x

y y_{0} = p (x + x_{0})

Exemple à traiter : Écris l’équation de la tangente à l’ellipse

\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{2} = 1

au point

A (2; 1)

R2 · Tangentes de direction donnée

Une droite

y = m x + k

est tangente à la conique si et seulement si l’équation obtenue en remplaçant

y

a une racine double (discriminant nul).

Exemple à traiter : Détermine les tangentes à l’ellipse

x^{2} + 4 y^{2} = 4

parallèles à la droite

y = x

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Propriété focale

La tangente à une ellipse en

M

est la bissectrice extérieure de l’angle

\hat{F M F^{'}}

; pour l’hyperbole, c’est la bissectrice intérieure. Pour la parabole, la tangente en

M

est bissectrice de l’angle formé par

(M F)

et la parallèle à l’axe passant par

M

Exemple à traiter : Explique pourquoi, dans une salle elliptique, un son émis en un foyer converge vers l’autre foyer.

Erreurs fréquentes

⚠ Point sur la conique

Le dédoublement ne s’applique qu’en un point de la conique.

⚠ Signe

Pour l’hyperbole, on garde le signe − dans le dédoublement.

Exercice d’application

Détermine les tangentes à la parabole $y^{2} = 4 x$ issues du point $P (- 1; 0)$ .
Écris l’équation de la tangente à l’hyperbole $x^{2} - y^{2} = 1$ au point $(\sqrt{2}; 1)$ et compare sa pente à celle des asymptotes.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Tangente par dédoublement :

x^{2} \to x x_{0}

y^{2} \to y y_{0}

2 x \to x + x_{0}

. Discriminant nul pour une droite tangente.