Cours

MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Coniques · Leçon 3

Définition analytique et construction

Réduire une équation et construire une conique.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Définition analytique et construction », proposé par ndolomathndolomath

Équation et construction

💡 Idée principale : Une équation du second degré

A x^{2} + C y^{2} + D x + E y + F = 0

(sans terme en

x y

) représente en général une conique. On la réduit par complétion des carrés et changement de repère (translation de l’origine). On construit ensuite la conique par points ou avec les définitions bifocales (

M F + M F^{'} = 2 a

pour l’ellipse,

| M F - M F^{'} | = 2 a

pour l’hyperbole).

Ce que tu vas apprendre

Réduire une équation par complétion des carrés et changement d’origine.
Déterminer la nature et les éléments d’une conique à partir de son équation.
Construire une ellipse, une parabole, une hyperbole ; utiliser les définitions bifocales.

Pourquoi cette leçon ?

Les jardiniers tracent des massifs elliptiques avec deux piquets et une corde : c’est la définition bifocale de l’ellipse. Une équation compliquée devient simple après un bon changement de repère.

Prérequis : vérifie tes bases

Mets

x^{2} - 4 x

sous forme canonique.

Écris

4 (x - 1)^{2} + 9 (y + 2)^{2} = 36

sous la forme

\frac{X^{2}}{a^{2}} + \frac{Y^{2}}{b^{2}} = 1

Calcule

\sqrt{25 - 9}

Situation problème : Le massif du jardin

Un jardinier plante deux piquets distants de 6 m et attache les extrémités d’une corde de 10 m. En tendant la corde avec un bâton, il trace un massif de fleurs.
Quelle courbe obtient-il ? Quelles sont ses dimensions ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Définition analytique et construction », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On place les piquets en $F (- 3; 0)$ et $F^{'} (3; 0)$ . Le bâton est en $M (x; y)$ avec $M F + M F^{'} = 10$ .

Que vaut $2 a$ ? Que vaut $c$ ?
Calcule $b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}$ .
Écris l’équation réduite de la courbe.
Réponds à la situation problème.

Réduction d’une équation

Pour

A x^{2} + C y^{2} + D x + E y + F = 0

, on complète les carrés :

A (x - x_{0})^{2} + C (y - y_{0})^{2} = K

, puis on pose

X = x - x_{0}

Y = y - y_{0}

(nouvelle origine

Ω (x_{0}; y_{0})

). Si

A C > 0

: ellipse (ou point, ou vide) ; si

A C < 0

: hyperbole (ou deux droites) ; si

A C = 0

: parabole.

Exemple à traiter : Détermine la nature et les éléments de

4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x + 36 y + 4 = 0

et de

y^{2} - 4 y - 8 x + 12 = 0

R2 · Définitions bifocales

Ellipse :

{M ∣ M F + M F^{'} = 2 a}

avec

2 a > F F^{'}

. Hyperbole :

{M ∣ | M F - M F^{'} | = 2 a}

avec

2 a < F F^{'}

Exemple à traiter : Détermine l’équation de l’ensemble des points

M

tels que

| M F - M F^{'} | = 4

, avec

F (- 5; 0)

F^{'} (5; 0)

Construction

On trace les axes et le centre, on place les sommets (et les asymptotes pour l’hyperbole), quelques points calculés, puis on trace la courbe. Une représentation paramétrique : ellipse

x = a \cos t

y = b \sin t

Exemple à traiter : Construis l’ellipse

\frac{(x - 1)^{2}}{16} + \frac{(y + 2)^{2}}{4} = 1

en précisant centre, sommets et foyers.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Définition analytique et construction », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Complétion des carrés

On factorise d’abord par le coefficient de

x^{2}

avant de compléter.

⚠ Repère

Les coordonnées des foyers se calculent dans le nouveau repère, puis on revient à l’ancien.

Exercice d’application

Détermine la nature de la courbe d’équation $x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 8 y - 7 = 0$ et ses éléments.
Montre que la courbe paramétrée $x = 3 \cos t$ , $y = 2 \sin t$ est une ellipse dont on donnera les foyers.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Compléter les carrés, changer d’origine.

A C > 0

: ellipse ;

A C < 0

: hyperbole ;

A C = 0

: parabole. Bifocale :

M F + M F^{'} = 2 a

;

| M F - M F^{'} | = 2 a