Cours

MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Coniques · Leçon 2

Définition monofocale

Foyer, directrice, excentricité.

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Cours de Mathématiques : « Définition monofocale », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : Soit

F

un point,

(D)

une droite ne passant pas par

F

e > 0

. L’ensemble des points

M

tels que

\frac{M F}{d (M, D)} = e

est une conique de foyer

F

, de directrice

(D)

et d’excentricité

e

: une ellipse si

e < 1

, une parabole si

e = 1

, une hyperbole si

e > 1

Ce que tu vas apprendre

Connaître la définition d’une conique par foyer, directrice et excentricité.
Déterminer la nature d’une conique selon son excentricité.
Établir une équation d’une conique définie par foyer et directrice.

Pourquoi cette leçon ?

Une antenne parabolique concentre tous les signaux reçus en un point, le foyer. Cette propriété vient de la définition de la parabole par un foyer et une directrice.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule la distance du point

M (x; y)

à la droite

x = - 2

Calcule

M F

pour

F (1; 0)

Développe

(x - 1)^{2} - (x + 1)^{2}

Situation problème : L’antenne parabolique

On veut fabriquer une antenne parabolique : chaque point $M$ du profil doit être à égale distance d’un point $F (1; 0)$ , où l’on placera le récepteur, et d’une droite $(D) : x = - 1$ .
Quelle est l’équation du profil ?

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Activité d’apprentissage

On cherche les points $M (x; y)$ tels que $M F = d (M, D)$ .

Exprime $M F^{2}$ et $d (M, D)^{2}$ en fonction de $x$ et $y$ .
Écris l’égalité $M F^{2} = d (M, D)^{2}$ et simplifie.
Reconnais la courbe obtenue.
Réponds à la situation problème.

Définition

C = {M ∣ M F = e \cdot d (M, D)}

, avec

F \notin (D)

e > 0

F

est le foyer,

(D)

la directrice,

e

l’excentricité. La perpendiculaire à

(D)

passant par

F

est l’axe focal.

Exemple à traiter : Détermine une équation de la conique de foyer

F (0; 0)

, de directrice

x = 4

et d’excentricité

\frac{1}{2}

R2 · Nature selon e

0 < e < 1

: ellipse ; si

e = 1

: parabole ; si

e > 1

: hyperbole.

Exemple à traiter : Détermine la nature et une équation de la conique de foyer

F (2; 0)

, de directrice

x = \frac{1}{2}

et d’excentricité 2.

Éléments de l’équation réduite

Ellipse

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

(

a > b

) :

c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}

, foyers

(\pm c; 0)

e = \frac{c}{a}

, directrices

x = \pm \frac{a^{2}}{c}

. Hyperbole

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

e = \frac{c}{a}

. Parabole

y^{2} = 2 p x

: foyer

(\frac{p}{2}; 0)

, directrice

x = - \frac{p}{2}

Exemple à traiter : Détermine les foyers, l’excentricité et les directrices de l’ellipse

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1

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Erreurs fréquentes

⚠ Valeur de c

Ellipse :

c^{2} = a^{2} - b^{2}

; hyperbole :

c^{2} = a^{2} + b^{2}

⚠ Carrés

On élève au carré des quantités positives : les deux membres sont des distances.

Exercice d’application

Détermine le foyer et la directrice de la parabole $y^{2} = 8 x$ .
Détermine les foyers, l’excentricité et les asymptotes de l’hyperbole $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

M F = e \cdot d (M, D)

e < 1

ellipse,

e = 1

parabole,

e > 1

hyperbole.

e = \frac{c}{a}