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MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Coniques · Leçon 1

Présentation générale

Sections d’un cône, ellipse, parabole, hyperbole.

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Cours de Mathématiques : « Présentation générale », proposé par ndolomathndolomath

Coniques : présentation

💡 Idée principale : Les coniques sont les courbes obtenues en coupant un cône de révolution par un plan : ellipse (et cercle), parabole, hyperbole. On les retrouve dans les orbites des planètes, les antennes paraboliques, les phares de voiture et la trajectoire des projectiles.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître les trois types de coniques comme sections planes d’un cône.
Reconnaître les équations réduites de l’ellipse, de la parabole et de l’hyperbole.
Identifier les éléments remarquables : sommets, axes, centre.

Pourquoi cette leçon ?

Kepler a découvert que les planètes décrivent des ellipses ; une antenne parabolique concentre les signaux en un point ; une lampe projette sur un mur une hyperbole. Les coniques relient géométrie et physique.

Prérequis : vérifie tes bases

Écris l’équation du cercle de centre

O

et de rayon 3.

Trace la parabole

y = x^{2}

Trace la courbe de

y = \frac{1}{x}

Situation problème : La lampe contre le mur

Une lampe de chevet projette un cône de lumière. Lorsqu’elle est posée près d’un mur, la frontière de la zone éclairée sur le mur prend différentes formes selon l’inclinaison de la lampe.
Quelles formes peut-on obtenir ? Comment les décrire par des équations ?

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Activité d’apprentissage

On coupe un cône de révolution d’axe $(Δ)$ et de demi-angle $α$ par un plan $(P)$ qui ne passe pas par le sommet, faisant un angle $β$ avec l’axe.

Que vois-tu si $(P)$ est perpendiculaire à l’axe ?
Que se passe-t-il si $(P)$ est parallèle à une génératrice du cône ?
Et si $(P)$ coupe les deux nappes du cône ?
Réponds à la situation problème.

Sections d’un cône

L’intersection d’un cône de révolution de demi-angle

α

et d’un plan ne passant pas par le sommet, faisant l’angle

β

avec l’axe, est : une ellipse si

β > α

(un cercle si

β = 90 °

) ; une parabole si

β = α

; une hyperbole si

β < α

Exemple à traiter : Décris la section d’un cône par un plan passant par le sommet. Est-ce une conique propre ?

R2 · Équations réduites

Ellipse :

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

; parabole :

y^{2} = 2 p x

; hyperbole :

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Exemple à traiter : Reconnais la nature des courbes d’équations

4 x^{2} + 9 y^{2} = 36

y^{2} = 6 x

x^{2} - 4 y^{2} = 4

Éléments remarquables

L’ellipse a un centre, deux axes de symétrie et quatre sommets

(\pm a; 0)

(0; \pm b)

. La parabole a un axe et un sommet. L’hyperbole a un centre, deux axes, deux sommets

(\pm a; 0)

et deux asymptotes

y = \pm \frac{b}{a} x

Exemple à traiter : Trace l’ellipse

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1

et l’hyperbole

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{1} = 1

avec leurs éléments.

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Erreurs fréquentes

⚠ Hyperbole et parabole

Une branche d’hyperbole a des asymptotes, une parabole n’en a pas.

⚠ Signe

Ellipse : signe +, hyperbole : signe − entre les termes.

Exercice d’application

Détermine les sommets et les asymptotes de l’hyperbole $9 x^{2} - 16 y^{2} = 144$ .
Détermine l’équation de l’ellipse de centre $O$ , d’axes $(O x)$ et $(O y)$ , passant par $A (4; 0)$ et $B (0; 2)$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Section de cône : ellipse (

β > α

), parabole (

β = α

), hyperbole (

β < α

). Équations réduites :

\frac{x^{2}}{a^{2}} \pm \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

y^{2} = 2 p x