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MATHÉMATIQUES · Tle C-E

Chapitre : Calculs des intégrales · Leçon 5

Valeurs approchées d’une intégrale

Méthodes des rectangles et des trapèzes.

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Cours de Mathématiques : « Valeurs approchées d’une intégrale », proposé par ndolomathndolomath

Valeurs approchées

💡 Idée principale : Lorsqu’on ne sait pas calculer une intégrale exactement, on l’approche en découpant

[a; b]

n

intervalles de longueur

h = \frac{b - a}{n}

: méthode des rectangles

h \sum f (x_{k})

, méthode des trapèzes

h (\frac{f (a) + f (b)}{2} + \sum f (x_{k}))

. Pour une fonction monotone, les rectangles fournissent un encadrement.

Ce que tu vas apprendre

Approcher une intégrale par la méthode des rectangles et encadrer pour une fonction monotone.
Approcher une intégrale par la méthode des trapèzes.
Majorer l’erreur commise et choisir $n$ pour une précision donnée.

Pourquoi cette leçon ?

Les calculatrices et ordinateurs calculent les intégrales par des méthodes numériques. Les comprendre permet de savoir quelle confiance accorder au résultat.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

\frac{1}{4} (1 + \frac{1}{1, 25} + \frac{1}{1, 5} + \frac{1}{1, 75})

Calcule

\ln 2

à la calculatrice.

Calcule l’aire d’un trapèze de bases 2 et 3 et de hauteur 0,5.

Situation problème : Le calcul de ln 2

On sait que $\ln 2 = \int_{1}^{2} \frac{d x}{x}$ . Sans calculatrice, un élève veut en obtenir une valeur approchée à $10^{- 1}$ près, puis à $10^{- 2}$ près.
Comment faire avec des rectangles ?

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Activité d’apprentissage

On découpe $[1; 2]$ en $n$ intervalles de longueur $\frac{1}{n}$ .

Pour $n = 4$ , calcule la somme $s_{4}$ des aires des rectangles « inférieurs » et $S_{4}$ des rectangles « supérieurs ».
Justifie que $s_{4} \leq \ln 2 \leq S_{4}$ .
Calcule $S_{n} - s_{n}$ en fonction de $n$ . Quelle valeur de $n$ garantit une précision de $10^{- 2}$ ?
Réponds à la situation problème.

Méthode des rectangles

Avec

x_{k} = a + k h

h = \frac{b - a}{n}

s_{n} = h \sum_{k = 0}^{n - 1} f (x_{k})

S_{n} = h \sum_{k = 1}^{n} f (x_{k})

. Si

f

est monotone,

\int_{a}^{b} f

est compris entre

s_{n}

S_{n}

, et

| S_{n} - s_{n} | = h | f (b) - f (a) |

Exemple à traiter : Encadre

\int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

avec

n = 5

R2 · Méthode des trapèzes

T_{n} = h (\frac{f (a) + f (b)}{2} + \sum_{k = 1}^{n - 1} f (x_{k})) = \frac{s_{n} + S_{n}}{2}

. Elle est en général plus précise que la méthode des rectangles.

Exemple à traiter : Calcule

T_{4}

pour

\int_{1}^{2} \frac{d x}{x}

et compare avec

\ln 2

Limite des sommes

f

est continue sur

[a; b]

lim_{n \to + \infty} s_{n} = lim_{n \to + \infty} S_{n} = \int_{a}^{b} f

. On utilise ce résultat pour calculer des limites de sommes.

Exemple à traiter : Calcule

lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{n}

lim_{n \to + \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k}

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Erreurs fréquentes

⚠ Longueur h

h = \frac{b - a}{n}

, pas

\frac{1}{n}

en général.

⚠ Sens de l’encadrement

Pour une fonction décroissante, les rectangles à gauche majorent l’intégrale.

Exercice d’application

Donne une valeur approchée de $\int_{0}^{π} \sin x d x$ par la méthode des trapèzes avec $n = 4$ et compare avec la valeur exacte.
Combien de rectangles faut-il pour encadrer $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x^{2}}$ à $10^{- 3}$ près ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Rectangles :

h \sum f (x_{k})

, encadrement si

f

monotone, écart

h | f (b) - f (a) |

. Trapèzes : moyenne des deux. Les sommes tendent vers l’intégrale.