Cours
MATHÉMATIQUES · Tle C-E
Chapitre : Arithmétique dans Z · Leçon 1

Division euclidienne dans ℕ

Existence, unicité et utilisation des restes.
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Cours de Mathématiques : « Division euclidienne dans ℕ », proposé par ndolomathndolomath
Division euclidienne
💡 Idée principale : Pour tout entier naturel a et tout entier b≥1, il existe un unique couple d’entiers naturels (q,r) tel que a=bq+r et 0≤r<b. On l’étend à Z, et on l’utilise pour raisonner sur les restes possibles.
Ce que tu vas apprendre
  1. Énoncer et démontrer le théorème de la division euclidienne.
  2. Effectuer la division euclidienne dans N et dans Z.
  3. Utiliser les restes possibles pour démontrer des propriétés arithmétiques.
Pourquoi cette leçon ?
Calendriers, horloges, codes-barres, cryptographie : toutes ces applications reposent sur les restes de divisions euclidiennes.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Effectue la division posée de 3 457 par 23.
2
Donne tous les diviseurs de 48.
3
Écris la partie entière de −175.
Situation problème : Le jour de la semaine

Le 1er janvier 2026 était un jeudi. Bertrand veut savoir quel jour de la semaine sera le 1er janvier 2030, sachant que 2028 est bissextile, et s’il peut trouver une méthode générale.

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Activité d’apprentissage

On compte le nombre de jours écoulés.

  1. Combien de jours séparent le 1er janvier 2026 du 1er janvier 2030 ?
  2. Effectue la division euclidienne de ce nombre par 7.
  3. Explique comment le reste donne le jour cherché.
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Théorème
Pour a∈Z et b∈N∗, il existe un unique couple (q,r)∈Z×N tel que a=bq+r et 0≤r<b.
Exemple à traiter : Démontre l’unicité du couple (q,r). Effectue la division euclidienne de −47 par 6.
R2 · Restes possibles
Dans la division par b, il y a b restes possibles : 0,1,…,b−1. Tout entier s’écrit donc bq, bq+1, …, bq+b−1.
Exemple à traiter : Démontre que le carré de tout entier est de la forme 4k ou 4k+1.
R3
Applications
On utilise la division euclidienne pour déterminer des entiers vérifiant des conditions sur le quotient et le reste.
Exemple à traiter : Détermine les entiers naturels n tels que, dans la division de n par 13, le quotient et le reste soient égaux.
Erreurs fréquentes
⚠ Reste négatif
Dans Z, le reste reste positif : −47=6×(−8)+1.
⚠ Condition sur r
On n’oublie pas 0≤r<b.
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Exercice d’application
  1. Démontre que pour tout entier n, n3−n est divisible par 6.
  2. Le reste de la division de a par 7 est 3. Quel est le reste de la division de 5a+2 par 7 ?
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
a=bq+r, 0≤r<b, couple unique. Étudier les b restes possibles pour démontrer une propriété.
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Préparation du PDF…