Cours

MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Statistiques · Leçon 4

Ajustement linéaire

Remplacer un nuage par une droite pour prévoir.

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Cours de Mathématiques : « Ajustement linéaire », proposé par ndolomathndolomath

Ajustement linéaire

💡 Idée principale : Quand un nuage de points a une forme allongée, on peut l’ajuster par une droite. La méthode de Mayer utilise deux points moyens ; la méthode des moindres carrés donne la droite de régression

y = a x + b

avec

a = \frac{cov (x, y)}{V (x)}

b = \bar{y} - a \bar{x}

. Cette droite permet de faire des prévisions.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer une droite d’ajustement par la méthode de Mayer.
Déterminer la droite de régression de $y$ en $x$ par les moindres carrés.
Utiliser une droite d’ajustement pour faire une estimation ou une prévision.

Pourquoi cette leçon ?

À partir des ventes des mois passés, un commerçant veut prévoir ses ventes futures. Si le nuage est presque aligné, une droite résume la tendance et permet de prévoir.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule le coefficient directeur de la droite passant par

A (2; 5)

B (6; 13)

Calcule la variance de 1, 2, 3, 4, 5.

Calcule les coordonnées du point moyen de

(1; 3)

(2; 5)

(3; 6)

Situation problème : Prévoir les ventes

Reprenons la boutique de téléphones : $x$ : 10, 20, 30, 40, 50, 60 (publicité en milliers de F) ; $y$ : 25, 32, 41, 46, 55, 63 (ventes).
Combien de téléphones le gérant peut-il espérer vendre s’il dépense 80 000 F en publicité ?

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Activité d’apprentissage

On ajuste le nuage par une droite.

Partage la série en deux groupes de 3 points et calcule les points moyens $G_{1}$ et $G_{2}$ .
Détermine l’équation de la droite $(G_{1} G_{2})$ .
Utilise cette droite pour estimer les ventes pour $x = 80$ .
Réponds à la situation problème.

Méthode de Mayer

On partage la série, rangée par

x

croissants, en deux groupes de même effectif (à une unité près) ; on calcule leurs points moyens

G_{1}

G_{2}

. La droite

(G_{1} G_{2})

est la droite de Mayer ; elle passe par le point moyen

G

Exemple à traiter : Détermine la droite de Mayer de la série :

x

: 1, 2, 3, 4 ;

y

: 3, 5, 6, 8.

R2 · Méthode des moindres carrés

La droite de régression de

y

x

a pour équation

y = a x + b

avec

a = \frac{cov (x, y)}{V (x)}

b = \bar{y} - a \bar{x}

; elle passe par

G

Exemple à traiter : Détermine la droite de régression de

y

x

de la série de R1.

Prévision

Pour estimer

y

pour une valeur de

x

, on remplace

x

dans l’équation de la droite d’ajustement. L’estimation est d’autant plus fiable que les points sont proches de la droite et que

x

reste proche des valeurs observées.

Exemple à traiter : Avec la droite de régression de la situation, estime les ventes pour 70 000 F de publicité.

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Erreurs fréquentes

⚠ Groupes mal formés

On range les valeurs de

x

dans l’ordre croissant avant de faire les deux groupes.

⚠ Prévisions lointaines

Une prévision très éloignée des données est peu fiable.

Exercice d’application

Le nombre d’abonnés d’un cybercafé : année 1 à 5 : 120, 150, 185, 210, 245. Détermine la droite de Mayer et estime le nombre d’abonnés en année 7.
Pour la même série, détermine la droite de régression par les moindres carrés.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Mayer : droite

(G_{1} G_{2})

. Moindres carrés :

a = \frac{cov (x, y)}{V (x)}

b = \bar{y} - a \bar{x}

. On remplace

x

pour prévoir.