Cours

MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Statistiques · Leçon 2

Caractéristiques de position : mode, médiane, moyenne, quartile, décile

Résumer une série par quelques nombres.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Caractéristiques de position : mode, médiane, moyenne, quartile, décile », proposé par ndolomathndolomath

Caractéristiques de position

💡 Idée principale : Les caractéristiques de position résument une série : le mode (valeur la plus fréquente), la moyenne, la médiane (qui partage l’effectif en deux), les quartiles (en quatre) et les déciles (en dix). Pour une série en classes, on utilise les centres des classes et l’interpolation linéaire.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer le mode ou la classe modale.
Calculer la moyenne d’une série discrète ou en classes.
Déterminer la médiane, les quartiles et les déciles.

Pourquoi cette leçon ?

Pour comparer les salaires dans deux entreprises ou les notes de deux classes, on ne peut pas tout lire : on compare des valeurs caractéristiques comme la moyenne ou la médiane.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule la moyenne de 12, 8, 15, 10, 5.

Range dans l’ordre croissant : 7, 3, 9, 1, 5, 8.

Calcule le centre de la classe

[10; 20 [

Situation problème : Les salaires de l’entreprise

Une entreprise de 50 employés publie ses salaires mensuels (en milliers de F) : $[50; 100 [$ : 15 ; $[100; 150 [$ : 20 ; $[150; 200 [$ : 10 ; $[200; 400 [$ : 5.
Le directeur dit que « le salaire moyen est élevé ». Un syndicaliste répond que « la moitié des employés gagne peu ». Qui a raison ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Caractéristiques de position : mode, médiane, moyenne, quartile, décile », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On calcule la moyenne et la médiane.

Calcule le centre de chaque classe et la moyenne de la série.
Calcule les effectifs cumulés croissants. Dans quelle classe se trouve la médiane ?
Calcule la médiane par interpolation linéaire.
Réponds à la situation problème.

Mode et moyenne

Le mode est la valeur de plus grand effectif ; pour une série en classes, on parle de classe modale. Moyenne :

\bar{x} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + \dots + n_{p} x_{p}}{N}

, où

x_{i}

est la valeur ou le centre de la classe.

Exemple à traiter : Calcule la moyenne de la série : notes 8 (4 élèves), 10 (6), 12 (7), 15 (3).

R2 · Médiane

Série discrète : on range les valeurs ; la médiane est la valeur du milieu (ou la moyenne des deux valeurs du milieu). Série en classes : on repère la classe

[a; b [

où l’effectif cumulé atteint

\frac{N}{2}

, puis

M e = a + (b - a) \times \frac{\frac{N}{2} - N_{a}}{n}

, où

N_{a}

est l’effectif cumulé avant la classe et

n

l’effectif de la classe.

Exemple à traiter : Détermine la médiane de la série 3, 7, 8, 10, 12, 15 et celle de la série des salaires.

Quartiles et déciles

Q_{1}

Q_{3}

correspondent aux effectifs cumulés

\frac{N}{4}

\frac{3 N}{4}

; le décile

D_{1}

\frac{N}{10}

D_{9}

\frac{9 N}{10}

. On les calcule comme la médiane.

Exemple à traiter : Calcule

Q_{1}

Q_{3}

D_{9}

pour la série des salaires.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Caractéristiques de position : mode, médiane, moyenne, quartile, décile », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Valeurs non rangées

Pour la médiane, on range d’abord les valeurs dans l’ordre croissant.

⚠ Moyenne et médiane

Quelques très grandes valeurs augmentent la moyenne mais pas la médiane.

Exercice d’application

Voici les tailles (en cm) de 40 élèves : $[150; 160 [$ : 6 ; $[160; 170 [$ : 14 ; $[170; 180 [$ : 15 ; $[180; 190 [$ : 5. Calcule la moyenne, la médiane et les quartiles.
Détermine le mode et la médiane de la série 2, 5, 5, 6, 8, 8, 8, 9.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Mode : plus grand effectif. Moyenne :

\frac{\sum n_{i} x_{i}}{N}

. Médiane, quartiles, déciles : effectifs cumulés

\frac{N}{2}

\frac{N}{4}

\frac{N}{10}

… par interpolation.