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MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Primitives d’une fonction sur un intervalle · Leçon 1

Primitives des fonctions usuelles

Retrouver une fonction connaissant sa dérivée.

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Cours de Mathématiques : « Primitives des fonctions usuelles », proposé par ndolomathndolomath

Primitives

💡 Idée principale : Une primitive d’une fonction

f

sur un intervalle

I

est une fonction

F

dont la dérivée est

f

. Si

F

est une primitive, toutes les primitives sont de la forme

F + k

. On les obtient en lisant à l’envers le tableau des dérivées.

Ce que tu vas apprendre

Vérifier qu’une fonction est une primitive d’une autre.
Déterminer les primitives des fonctions usuelles et d’une somme.
Déterminer la primitive qui prend une valeur donnée en un point.

Pourquoi cette leçon ?

Connaissant la vitesse d’un véhicule à chaque instant, peut-on retrouver la distance parcourue ? Connaissant le coût marginal, peut-on retrouver le coût total ? C’est le problème des primitives.

Prérequis : vérifie tes bases

Dérive

x^{3}

\frac{x^{2}}{2}

5 x

Dérive

- \frac{1}{x}

Quelle fonction a pour dérivée

2 x

Situation problème : La distance parcourue

Un cycliste roule sur une route droite. Sa vitesse (en km/h) à l’instant $t$ (en heures) est $v (t) = 3 t^{2} + 10$ . À l’instant $t = 0$ , il a déjà parcouru 5 km.
Quelle distance aura-t-il parcourue à l’instant $t = 2$ ?

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Activité d’apprentissage

On cherche la distance $d (t)$ telle que $d^{'} (t) = v (t)$ .

Trouve une fonction dont la dérivée est $3 t^{2}$ , puis une dont la dérivée est 10.
Propose une expression de $d (t)$ . Est-elle unique ?
Utilise $d (0) = 5$ pour déterminer $d (t)$ .
Réponds à la situation problème.

Définition

F

est une primitive de

f

sur

I

F^{'} (x) = f (x)

pour tout

x \in I

. Les primitives de

f

sont les fonctions

F (x) + k

k \in R

Exemple à traiter : Vérifie que

F (x) = x^{3} - 2 x

est une primitive de

f (x) = 3 x^{2} - 2

. Donne deux autres primitives.

R2 · Primitives usuelles

k \to k x

;

x^{n} \to \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

;

\frac{1}{x^{2}} \to - \frac{1}{x}

;

\frac{1}{\sqrt{x}} \to 2 \sqrt{x}

. Une primitive de

f + g

est

F + G

; une primitive de

k f

est

k F

Exemple à traiter : Détermine une primitive de

f (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 5

et de

g (x) = \frac{3}{x^{2}}

Primitive vérifiant une condition

Pour trouver la primitive

F

telle que

F (x_{0}) = y_{0}

, on écrit

F (x) = G (x) + k

et on détermine

k

avec la condition.

Exemple à traiter : Détermine la primitive de

f (x) = 2 x + 3

qui s’annule en 1.

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Erreurs fréquentes

⚠ Oublier la constante

Une fonction a une infinité de primitives :

F + k

⚠ Diviser par n + 1

Une primitive de

x^{n}

est

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

, pas

n x^{n - 1}

Exercice d’application

Détermine les primitives de $f (x) = x^{4} - \frac{1}{x^{2}}$ sur $] 0; + \infty [$ .
Détermine la primitive de $g (x) = 6 x^{2} - 4 x + 1$ qui vaut 3 en 0.
Réponds à la situation problème.

À retenir

F^{'} = f

. Toutes les primitives :

F + k

x^{n} \to \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

. La condition

F (x_{0}) = y_{0}

fixe

k