Cours
MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI
Chapitre : Fonctions : Limites et Continuité · Leçon 5

Continuité

Tracer sans lever le crayon.
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Cours de Mathématiques : « Continuité », proposé par ndolomathndolomath
Continuité
💡 Idée principale : Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe se trace sans lever le crayon. Les polynômes et les fonctions rationnelles sont continus sur les intervalles où ils sont définis. Une fonction continue qui change de signe sur un intervalle s’y annule.
Ce que tu vas apprendre
  1. Reconnaître graphiquement une fonction continue.
  2. Savoir que les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition.
  3. Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour justifier l’existence d’une solution.
Pourquoi cette leçon ?
La température au cours d’une journée varie sans saut : si elle passe de 20 °C à 30 °C, elle a forcément été de 25 °C à un moment. La continuité traduit cette idée.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Calcule f(0) et f(1) pour f(x)=x3+x−1.
2
Un nombre positif et un nombre négatif : lequel est le plus grand ?
3
Trace la courbe de x↦x2 sur [−2;2].
Situation problème : Le niveau du réservoir

Le niveau d’eau du réservoir d’un quartier passe de 2 m à 6 h du matin à 5 m à 18 h, de façon continue.
Peut-on affirmer que le niveau a été exactement de 3,5 m à un moment de la journée ?

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Activité d’apprentissage

On représente le niveau N(t) en fonction de l’heure t.

  1. Trace une courbe possible de N entre 6 h et 18 h.
  2. La droite y=3,5 coupe-t-elle toujours ta courbe ?
  3. Que se passerait-il si le niveau pouvait « sauter » ?
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Fonction continue
Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe représentative est d’un seul tenant (sans saut) sur cet intervalle. Les fonctions polynômes sont continues sur R ; les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.
Exemple à traiter : Sur quels intervalles la fonction f(x)=1x−2 est-elle continue ?
R2 · Théorème des valeurs intermédiaires
Si f est continue sur [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x)=k a au moins une solution dans [a;b]. Si de plus f est strictement monotone, la solution est unique.
Exemple à traiter : Montre que l’équation x3+x−1=0 admet une solution dans [0;1].
R3
Encadrement d’une solution
Pour encadrer la solution α, on calcule f en des valeurs de plus en plus proches et on repère le changement de signe (balayage à la calculatrice).
Exemple à traiter : Donne un encadrement d’amplitude 0,1 de la solution de x3+x−1=0.
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Erreurs fréquentes
⚠ Hypothèse de continuité
Si la fonction n’est pas continue, le théorème ne s’applique pas.
⚠ Unicité
Pour affirmer qu’il y a une seule solution, il faut que f soit strictement monotone.
Exercice d’application
  1. Montre que l’équation x2−3=0 a une solution dans [1;2] et encadre-la à 0,1 près.
  2. Sur un graphique fourni par ton professeur, indique si la fonction est continue.
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
Continue : courbe sans saut. Continue sur [a;b] avec changement de signe ⇒ au moins une solution ; strictement monotone ⇒ unique.
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Préparation du PDF…