Cours

MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Fonctions : Limites et Continuité · Leçon 4

Limites et opérations

Somme, produit, quotient de limites.

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Cours de Mathématiques : « Limites et opérations », proposé par ndolomathndolomath

Opérations sur les limites

💡 Idée principale : Les limites d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de fonctions se déduisent des limites de chaque fonction à l’aide de règles. Quelques cas ne permettent pas de conclure directement : ce sont les formes indéterminées.

Ce que tu vas apprendre

Utiliser les règles sur la limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient.
Reconnaître les formes indéterminées.
Lever une forme indéterminée simple.

Pourquoi cette leçon ?

Pour calculer la limite d’une fonction compliquée, on la décompose en fonctions simples dont on connaît les limites, comme on décompose un calcul en étapes.

Prérequis : vérifie tes bases

Donne

lim_{x \to + \infty} x^{2}

lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x}

Combien font

3 \times (+ \infty)

- 2 \times (+ \infty)

intuitivement ?

Factorise

x^{2}

dans

x^{2} + 3 x

Situation problème : Le calcul de Bertrand

Bertrand veut calculer $lim_{x \to + \infty} (x^{2} - 3 x)$ . Il raisonne ainsi : « $x^{2}$ tend vers $+ \infty$ , $3 x$ tend vers $+ \infty$ , donc la différence tend vers 0 ».
A-t-il raison ?

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Activité d’apprentissage

On teste son raisonnement.

Calcule $x^{2} - 3 x$ pour $x = 10$ , $100$ , $1 000$ .
Écris $x^{2} - 3 x = x (x - 3)$ . Quelle est la limite de chaque facteur ?
Déduis-en la limite.
Réponds à la situation problème.

Somme

lim f = ℓ

lim g = ℓ^{'}

, alors

lim (f + g) = ℓ + ℓ^{'}

ℓ + (+ \infty) = + \infty

;

ℓ + (- \infty) = - \infty

;

(+ \infty) + (+ \infty) = + \infty

. La forme

(+ \infty) + (- \infty)

est indéterminée.

Exemple à traiter : Calcule

lim_{x \to + \infty} (x + 3 + \frac{1}{x})

R2 · Produit

lim (f g) = ℓ ℓ^{'}

;

ℓ \times (\pm \infty) = \pm \infty

(règle des signes,

ℓ \neq 0

) ;

\infty \times \infty = \infty

(règle des signes). La forme

0 \times \infty

est indéterminée.

Exemple à traiter : Calcule

lim_{x \to - \infty} (- 3 x^{2})

lim_{x \to + \infty} (2 - x) (x + 5)

Quotient

lim \frac{f}{g} = \frac{ℓ}{ℓ^{'}}

ℓ^{'} \neq 0

;

\frac{ℓ}{\pm \infty} = 0

;

\frac{\pm \infty}{ℓ^{'}} = \pm \infty

(signes). Les formes

\frac{\infty}{\infty}

\frac{0}{0}

sont indéterminées.

Exemple à traiter : Calcule

lim_{x \to + \infty} \frac{5}{x^{2} + 1}

lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + 1}{3}

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Erreurs fréquentes

⚠ ∞ − ∞ = 0

C’est faux : c’est une forme indéterminée.

⚠ Règle des signes

On n’oublie pas le signe dans les produits et quotients.

Exercice d’application

Calcule $lim_{x \to + \infty} (x^{3} - x^{2})$ en factorisant.
Calcule $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 1}{x + 4}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Formes indéterminées :

\infty - \infty

0 \times \infty

\frac{\infty}{\infty}

\frac{0}{0}

. Pour les lever : factoriser.