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MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Fonctions : Limites et Continuité · Leçon 3

Limite d’une fonction à droite et à gauche d’un réel

Quand le signe du dénominateur change.

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Cours de Mathématiques : « Limite d’une fonction à droite et à gauche d’un réel », proposé par ndolomathndolomath

Limites à gauche et à droite

💡 Idée principale : Lorsque le dénominateur d’une fonction s’annule en

a

, la limite peut être

+ \infty

d’un côté et

- \infty

de l’autre. On étudie alors séparément la limite à gauche (

x < a

) et la limite à droite (

x > a

), en utilisant le signe du dénominateur.

Ce que tu vas apprendre

Calculer une limite à gauche et une limite à droite d’un réel.
Utiliser un tableau de signes pour déterminer le signe d’un dénominateur.
Interpréter graphiquement : asymptote verticale.

Pourquoi cette leçon ?

Autour d’une valeur interdite, la courbe d’une fonction peut « monter » d’un côté et « descendre » de l’autre. Pour bien tracer la courbe, il faut connaître ce comportement des deux côtés.

Prérequis : vérifie tes bases

Étudie le signe de

x - 3

suivant les valeurs de

x

Calcule

\frac{2}{x - 3}

pour

x = 2, 9

x = 3, 1

Quelle est la valeur interdite de

\frac{1}{x + 2}

Situation problème : La courbe coupée

En traçant la courbe de $f (x) = \frac{2}{x - 3}$ à la calculatrice, Lydie observe deux morceaux séparés par la droite $x = 3$ . L’un monte très haut, l’autre descend très bas.
Comment expliquer ce comportement ?

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Activité d’apprentissage

On observe $f (x)$ près de 3.

Calcule $f (2, 9)$ , $f (2, 99)$ , $f (2,999)$ .
Calcule $f (3, 1)$ , $f (3, 01)$ , $f (3,001)$ .
Quel est le signe de $x - 3$ pour $x < 3$ ? pour $x > 3$ ?
Réponds à la situation problème.

Limite à gauche, à droite

lim_{x \to a^{-}} f (x)

(ou

x \to a

x < a

) est la limite à gauche ;

lim_{x \to a^{+}} f (x)

est la limite à droite.

lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty

lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty

Exemple à traiter : Calcule

lim_{x \to 0^{-}} \frac{3}{x}

lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2}{x}

R2 · Méthode

Pour

\frac{N (x)}{D (x)}

avec

N (a) \neq 0

D (a) = 0

: on calcule

N (a)

, on étudie le signe de

D (x)

à gauche et à droite de

a

, puis on applique la règle des signes : la limite est

+ \infty

- \infty

Exemple à traiter : Calcule les limites à gauche et à droite de 1 de

f (x) = \frac{x + 2}{x - 1}

Asymptote verticale

Si l’une des limites en

a

(à gauche ou à droite) est infinie, la droite

x = a

est asymptote verticale à la courbe.

Exemple à traiter : Détermine les asymptotes verticales de la courbe de

g (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}

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Erreurs fréquentes

⚠ Une seule limite

À gauche et à droite, les limites peuvent être différentes : on étudie les deux.

⚠ Signe du numérateur

On n’oublie pas le signe de

N (a)

dans la règle des signes.

Exercice d’application

Calcule les limites à gauche et à droite de $- 2$ de $f (x) = \frac{1 - x}{x + 2}$ .
Calcule les limites à gauche et à droite de 0 de $g (x) = \frac{x + 1}{x^{2}}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Limite à gauche

x \to a^{-}

, à droite

x \to a^{+}

. Signe du numérateur et du dénominateur ⇒

\pm \infty

. Limite infinie ⇒ asymptote

x = a