Cours

MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Fonctions exponentielles · Leçon 5

Dérivée et primitives

(eᵘ)' = u'eᵘ.

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Cours de Mathématiques : « Dérivée et primitives », proposé par ndolomathndolomath

Dérivée de l’exponentielle

💡 Idée principale : La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée :

(e^{x})^{'} = e^{x}

. Plus généralement

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

. Elle est donc strictement croissante sur

R

. Une primitive de

u^{'} e^{u}

est

e^{u}

Ce que tu vas apprendre

Dériver des fonctions de la forme $e^{u}$ , $u e^{x}$ .
Étudier les variations d’une fonction comportant $e^{x}$ .
Déterminer une primitive de $e^{a x + b}$ et de $u^{'} e^{u}$ .

Pourquoi cette leçon ?

Pour étudier un modèle de croissance ou de refroidissement, il faut dériver des fonctions exponentielles.

Prérequis : vérifie tes bases

Dérive

2 x^{2} - 3 x

Étudie le signe de

(x - 1) e^{x}

Simplifie

e^{x} + x e^{x}

en factorisant.

Situation problème : Le refroidissement du thé

Une tasse de thé à 90 °C refroidit dans une pièce à 25 °C. Sa température après $t$ minutes est $T (t) = 25 + 65 e^{- 0, 1 t}$ .
La température diminue-t-elle toujours ? Vers quelle température tend-elle ?

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Activité d’apprentissage

On étudie la fonction $T$ sur $[0; + \infty [$ .

Calcule $T^{'} (t)$ .
Étudie le signe de $T^{'} (t)$ .
Calcule $lim_{t \to + \infty} T (t)$ .
Réponds à la situation problème.

Dérivée

(e^{x})^{'} = e^{x}

;

(e^{a x + b})^{'} = a e^{a x + b}

;

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

. Comme

e^{x} > 0

, la fonction exponentielle est strictement croissante.

Exemple à traiter : Dérive

f (x) = e^{3 x}

g (x) = x e^{x}

h (x) = e^{x^{2} + 1}

k (x) = \frac{e^{x}}{x}

R2 · Variations

On dérive, on factorise par

e^{u}

(qui est strictement positif) et le signe de la dérivée est celui de l’autre facteur.

Exemple à traiter : Étudie les variations de

f (x) = (x - 2) e^{x}

sur

R

Primitives

Une primitive de

e^{x}

est

e^{x}

; de

e^{a x + b}

(

a \neq 0

) est

\frac{1}{a} e^{a x + b}

; de

u^{'} e^{u}

est

e^{u}

Exemple à traiter : Détermine une primitive de

f (x) = e^{2 x}

g (x) = 3 e^{- x}

h (x) = 2 x e^{x^{2}}

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier u'

(e^{3 x})^{'} = 3 e^{3 x}

, pas

e^{3 x}

⚠ Primitive

Une primitive de

e^{2 x}

est

\frac{1}{2} e^{2 x}

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Exercice d’application

Étudie les variations de $f (x) = e^{x} - x$ sur $R$ .
Détermine la primitive de $e^{x} + 1$ qui vaut 2 en 0.
Réponds à la situation problème.

À retenir

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

e^{u} > 0

: le signe de la dérivée se lit sur l’autre facteur. Primitive de

e^{a x + b}

\frac{1}{a} e^{a x + b}