Cours

MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Fonctions exponentielles · Leçon 4

Limites usuelles

Comportement de eˣ en −∞ et en +∞.

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Cours de Mathématiques : « Limites usuelles », proposé par ndolomathndolomath

Limites de l’exponentielle

💡 Idée principale : La fonction exponentielle tend vers 0 en

- \infty

et vers

+ \infty

+ \infty

, beaucoup plus vite que toute puissance de

x

\frac{e^{x}}{x}

tend vers

+ \infty

x e^{x}

tend vers 0 en

- \infty

Ce que tu vas apprendre

Connaître les limites de $e^{x}$ en $- \infty$ et en $+ \infty$ .
Connaître les croissances comparées : $lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x} = + \infty$ , $lim_{x \to - \infty} x e^{x} = 0$ .
Calculer des limites de fonctions comportant $e^{x}$ .

Pourquoi cette leçon ?

On dit d’une épidémie qu’elle « croît de façon exponentielle » quand le nombre de malades explose très vite. Comparer l’exponentielle aux puissances permet de mesurer cette rapidité.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

e^{10}

e^{- 10}

à la calculatrice.

Calcule

lim_{x \to + \infty} x^{2}

Simplifie

e^{- x} \times e^{x}

Situation problème : La course des fonctions

Deux élèves comparent $x^{5}$ et $e^{x}$ . Pour $x = 10$ , $x^{5} = 100 000$ est plus grand que $e^{10} \approx 22 026$ . L’un d’eux affirme que $x^{5}$ restera toujours plus grand.
A-t-il raison ?

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Activité d’apprentissage

On compare $x^{5}$ et $e^{x}$ pour de grandes valeurs.

Calcule $x^{5}$ et $e^{x}$ pour $x = 20$ , $30$ .
Calcule $\frac{e^{x}}{x^{5}}$ pour ces valeurs.
Vers quoi semble tendre ce quotient ?
Réponds à la situation problème.

Limites de eˣ

lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0

;

lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty

. L’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe en

- \infty

Exemple à traiter : Calcule

lim_{x \to + \infty} (e^{x} + x)

lim_{x \to - \infty} (e^{x} - 3)

R2 · Croissances comparées

lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x} = + \infty

; plus généralement

lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{n}} = + \infty

;

lim_{x \to - \infty} x e^{x} = 0

Exemple à traiter : Calcule

lim_{x \to + \infty} (e^{x} - x)

en factorisant par

x

Limites de e^u

lim u = + \infty

, alors

lim e^{u} = + \infty

; si

lim u = - \infty

, alors

lim e^{u} = 0

; si

lim u = ℓ

, alors

lim e^{u} = e^{ℓ}

Exemple à traiter : Calcule

lim_{x \to + \infty} e^{- x}

lim_{x \to + \infty} e^{1 - x^{2}}

Erreurs fréquentes

⚠ e^(−∞)

e^{x}

tend vers 0 en

- \infty

, sans jamais l’atteindre.

⚠ ∞ − ∞

Pour

e^{x} - x

, on factorise.

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Exercice d’application

Calcule les limites en $- \infty$ et $+ \infty$ de $f (x) = (x + 1) e^{x}$ .
Calcule $lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x} + 1}{e^{x} - 1}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

e^{x} \to 0

- \infty

\to + \infty

+ \infty

\frac{e^{x}}{x^{n}} \to + \infty

;

x e^{x} \to 0

- \infty