Cours

MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Fonctions exponentielles · Leçon 3

Équations, inéquations et systèmes ayant pour inconnue auxiliaire eˣ

Poser X = eˣ.

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Cours de Mathématiques : « Équations, inéquations et systèmes ayant pour inconnue auxiliaire eˣ », proposé par ndolomathndolomath

Équations avec eˣ

💡 Idée principale : Lorsqu’une équation contient

e^{x}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}

, on pose

X = e^{x}

(avec

X > 0

) pour obtenir une équation du second degré. On résout en

X

, on garde les solutions positives, puis on revient à

x = \ln X

. Les inéquations utilisent la croissance de

\exp

Ce que tu vas apprendre

Résoudre des équations et inéquations du type $e^{u} = e^{v}$ , $e^{u} < e^{v}$ .
Résoudre des équations du type $a e^{2 x} + b e^{x} + c = 0$ .
Résoudre un système en posant $X = e^{x}$ , $Y = e^{y}$ .

Pourquoi cette leçon ?

Certaines équations de croissance ou d’équilibre combinent

e^{x}

e^{2 x}

. Le changement d’inconnue

X = e^{x}

les ramène à des équations connues.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous

X^{2} - 3 X + 2 = 0

Écris

e^{2 x}

en fonction de

e^{x}

Résous

e^{x} = 2

Situation problème : L’équation de Samuel

Samuel doit résoudre $e^{2 x} - 5 e^{x} + 6 = 0$ . Il se dit que l’équation ressemble à une équation du second degré.
Comment la résoudre ?

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Activité d’apprentissage

On pose $X = e^{x}$ .

Exprime $e^{2 x}$ en fonction de $X$ et écris l’équation en $X$ .
Résous l’équation en $X$ .
Trouve les valeurs de $x$ correspondantes.
Réponds à la situation problème.

Équations et inéquations simples

\exp

est strictement croissante sur

R

e^{u} = e^{v} ⟺ u = v

;

e^{u} < e^{v} ⟺ u < v

Exemple à traiter : Résous

e^{2 x - 1} = e^{x + 3}

e^{x^{2}} < e^{4}

R2 · Inconnue auxiliaire

Pour

a e^{2 x} + b e^{x} + c = 0

, on pose

X = e^{x} > 0

a X^{2} + b X + c = 0

. On rejette les solutions

X \leq 0

et on obtient

x = \ln X

pour les autres.

Exemple à traiter : Résous

e^{2 x} + e^{x} - 2 = 0

e^{2 x} - 3 e^{x} - 4 \geq 0

Systèmes

On pose

X = e^{x}

Y = e^{y}

, on résout le système en

X

Y

(avec

X > 0

Y > 0

), puis

x = \ln X

y = \ln Y

Exemple à traiter : Résous

{\begin{cases} e^{x} + e^{y} = 5 \\ e^{x} - e^{y} = 1 \end{cases}

Erreurs fréquentes

⚠ Solutions négatives

On rejette les solutions

X \leq 0

car

e^{x} > 0

⚠ Retour à x

On n’oublie pas

x = \ln X

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Exercice d’application

Résous $2 e^{2 x} - 3 e^{x} + 1 = 0$ .
Résous $e^{x} - 2 e^{- x} = 1$ (multiplie par $e^{x}$ ).
Réponds à la situation problème.

À retenir

e^{u} = e^{v} ⟺ u = v

e^{u} < e^{v} ⟺ u < v

. Poser

X = e^{x} > 0

, rejeter

X \leq 0

, puis

x = \ln X