Cours

MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Fonctions exponentielles · Leçon 2

Équations du type ln x = y ou eˣ = y

Passer d’une forme à l’autre.

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Cours de Mathématiques : « Équations du type ln x = y ou eˣ = y », proposé par ndolomathndolomath

ln x = y et eˣ = y

💡 Idée principale : Les fonctions

\ln

\exp

sont réciproques :

\ln x = y ⟺ x = e^{y}

(avec

x > 0

) et

e^{x} = y ⟺ x = \ln y

(avec

y > 0

). Si

y \leq 0

, l’équation

e^{x} = y

n’a pas de solution.

Ce que tu vas apprendre

Résoudre une équation du type $\ln x = a$ .
Résoudre une équation du type $e^{x} = a$ .
Résoudre des équations du type $\ln u (x) = a$ et $e^{u (x)} = a$ .

Pourquoi cette leçon ?

En combien d’années un capital placé à 5 % par an double-t-il ? Combien de temps faut-il pour que la moitié d’une substance radioactive disparaisse ? Ces questions conduisent à des équations

e^{x} = a

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

e^{0}

\ln 1

Calcule à la calculatrice

e^{2}

\ln 7

Résous

2 x + 1 = 5

Situation problème : Le capital qui double

Une banque propose un placement dont la valeur après $t$ années est $C (t) = 100 000 e^{0, 05 t}$ francs.
Au bout de combien d’années le capital aura-t-il doublé ?

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Activité d’apprentissage

On résout $C (t) = 200 000$ .

Écris l’équation et simplifie-la sous la forme $e^{0, 05 t} = a$ .
Applique $\ln$ aux deux membres.
Calcule $t$ .
Réponds à la situation problème.

Équation ln x = a

Pour tout réel

a

, l’équation

\ln x = a

a une unique solution :

x = e^{a}

Exemple à traiter : Résous

\ln x = 3

\ln x = - 1

\ln x = 0

R2 · Équation eˣ = a

a > 0

, l’équation

e^{x} = a

a une unique solution :

x = \ln a

. Si

a \leq 0

, elle n’a pas de solution.

Exemple à traiter : Résous

e^{x} = 4

e^{x} = 1

e^{x} = - 2

Équations composées

\ln u (x) = a ⟺ u (x) = e^{a}

(avec

u (x) > 0

) ;

e^{u (x)} = a ⟺ u (x) = \ln a

(avec

a > 0

Exemple à traiter : Résous

\ln (2 x - 1) = 1

e^{3 x - 2} = 5

Erreurs fréquentes

⚠ Solution négative

e^{x} = - 2

n’a aucune solution.

⚠ Condition sur x

Pour

\ln x = a

, la solution

e^{a}

est toujours positive.

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Exercice d’application

Résous $e^{2 x} = 9$ et $\ln (x + 3) = 2$ .
La population d’une ville est $P (t) = 50 000 e^{0, 02 t}$ . Quand dépassera-t-elle 75 000 habitants ? (Résous l’équation correspondante.)
Réponds à la situation problème.

À retenir

\ln x = a ⟺ x = e^{a}

e^{x} = a ⟺ x = \ln a

a > 0

; pas de solution si

a \leq 0