Cours

MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Fonctions exponentielles · Leçon 1

Définition, ensemble de définition et propriétés algébriques

La réciproque de ln et ses règles de calcul.

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Cours de Mathématiques : « Définition, ensemble de définition et propriétés algébriques », proposé par ndolomathndolomath

Fonction exponentielle

💡 Idée principale : La fonction exponentielle, notée

\exp

x \mapsto e^{x}

, est la fonction réciproque de

\ln

: pour tout réel

x

e^{x} > 0

\ln (e^{x}) = x

. Elle est définie sur

R

et transforme les sommes en produits :

e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}

Ce que tu vas apprendre

Connaître la définition de $e^{x}$ et son ensemble de définition.
Utiliser les relations $\ln (e^{x}) = x$ et $e^{\ln x} = x$ ( $x > 0$ ).
Utiliser les propriétés algébriques : $e^{a + b}$ , $e^{a - b}$ , $e^{- a}$ , $(e^{a})^{n}$ .

Pourquoi cette leçon ?

La croissance d’une population de bactéries, l’évolution d’un capital à intérêts composés, la désintégration radioactive sont décrites par des fonctions exponentielles.

Prérequis : vérifie tes bases

Simplifie

2^{3} \times 2^{4}

\frac{5^{7}}{5^{2}}

Calcule

\ln e

\ln 1

Résous

\ln x = 2

Situation problème : Les bactéries

Une culture de bactéries contient 1 000 bactéries au départ. Un biologiste observe que leur nombre après $t$ heures est $N (t) = 1 000 e^{0, 5 t}$ .
Combien y a-t-il de bactéries après 2 heures ? Le nombre de bactéries après 4 heures est-il le double de celui après 2 heures ?

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Activité d’apprentissage

On utilise les propriétés de l’exponentielle.

Calcule $N (2)$ et $N (4)$ à la calculatrice.
Écris $e^{0, 5 \times 4}$ comme un produit de deux exponentielles.
Compare $\frac{N (4)}{N (2)}$ et $\frac{N (2)}{N (0)}$ .
Réponds à la situation problème.

Définition

Pour tout réel

x

e^{x}

est l’unique réel strictement positif dont le logarithme est

x

y = e^{x} ⟺ x = \ln y

(

y > 0

). On a

e^{0} = 1

e^{1} = e

\ln (e^{x}) = x

pour tout

x

e^{\ln x} = x

pour

x > 0

Exemple à traiter : Simplifie

e^{\ln 5}

\ln (e^{- 3})

e^{2 \ln 3}

R2 · Propriétés algébriques

Pour tous réels

a

b

et entier

n

e^{a + b} = e^{a} e^{b}

;

e^{a - b} = \frac{e^{a}}{e^{b}}

;

e^{- a} = \frac{1}{e^{a}}

;

(e^{a})^{n} = e^{n a}

Exemple à traiter : Simplifie

A = e^{3} \times e^{- 5}

B = \frac{e^{2 x + 1}}{e^{x - 1}}

C = (e^{x})^{3} \times e^{- 2 x}

Signe

Pour tout réel

x

e^{x} > 0

. Ainsi le signe de

u (x) e^{x}

est celui de

u (x)

Exemple à traiter : Étudie le signe de

(x - 2) e^{x}

et de

e^{2 x} + 1

Erreurs fréquentes

⚠ Exponentielle d’une somme

e^{a + b}

n’est pas

e^{a} + e^{b}

⚠ Signe

e^{x}

n’est jamais négatif ni nul.

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Exercice d’application

Simplifie $\frac{e^{x} \times e^{2}}{e^{x + 1}}$ .
Montre que $(e^{x} + e^{- x})^{2} - (e^{x} - e^{- x})^{2} = 4$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

e^{x} > 0

\ln (e^{x}) = x

e^{\ln x} = x

e^{a + b} = e^{a} e^{b}

e^{- a} = \frac{1}{e^{a}}

(e^{a})^{n} = e^{n a}