Cours

MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Fonctions : Dérivée · Leçon 2

Dérivées des fonctions composées

Dériver u(ax + b), uⁿ et √u.

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Cours de Mathématiques : « Dérivées des fonctions composées », proposé par ndolomathndolomath

Dérivées composées

💡 Idée principale : Lorsqu’une fonction est construite à partir d’une autre, comme

(2 x + 1)^{5}

\sqrt{x^{2} + 1}

, on la dérive avec les formules des fonctions composées :

(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}

(\sqrt{u})^{'} = \frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}}

[f (a x + b)]^{'} = a f^{'} (a x + b)

Ce que tu vas apprendre

Dériver une fonction de la forme $x \mapsto f (a x + b)$ .
Dériver $u^{n}$ et $\frac{1}{u}$ .
Dériver $\sqrt{u}$ .

Pourquoi cette leçon ?

Développer

(3 x - 1)^{10}

pour la dériver serait très long. Les formules des fonctions composées permettent de dériver directement.

Prérequis : vérifie tes bases

Dérive

x^{4}

\sqrt{x}

Dérive

u (x) = 3 x - 1

Calcule

(2 x + 1)^{2}

développé, puis dérive-le.

Situation problème : Le raccourci de Kevin

Kevin doit dériver $f (x) = (2 x + 1)^{2}$ . Il développe et trouve $f^{'} (x) = 8 x + 4$ . Sa camarade affirme qu’on peut l’obtenir sans développer, en écrivant $f^{'} (x) = 2 \times 2 \times (2 x + 1)$ .
A-t-elle raison ? Ce raccourci fonctionne-t-il pour $(2 x + 1)^{10}$ ?

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Activité d’apprentissage

On compare les deux méthodes.

Développe $(2 x + 1)^{2}$ et dérive.
Calcule $2 \times 2 \times (2 x + 1)$ et compare.
Dans ce calcul, d’où viennent les deux « 2 » ?
Réponds à la situation problème.

Fonction f(ax + b)

g (x) = f (a x + b)

, alors

g^{'} (x) = a f^{'} (a x + b)

Exemple à traiter : Dérive

g (x) = \sqrt{3 x + 2}

h (x) = \frac{1}{2 x - 5}

R2 · Puissance et inverse

(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}

;

{(\frac{1}{u})}^{'} = - \frac{u^{'}}{u^{2}}

(là où

u \neq 0

Exemple à traiter : Dérive

f (x) = (x^{2} - 3)^{4}

g (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}

Racine carrée

(\sqrt{u})^{'} = \frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}}

sur un intervalle où

u > 0

Exemple à traiter : Dérive

f (x) = \sqrt{x^{2} + 4}

g (x) = \sqrt{5 - 2 x}

Erreurs fréquentes

⚠ Oublier u'

On multiplie toujours par la dérivée de la fonction intérieure.

⚠ Exposant

L’exposant diminue de 1 :

(u^{4})^{'} = 4 u^{'} u^{3}

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Exercice d’application

Dérive $f (x) = (1 - 3 x)^{5}$ .
Dérive $g (x) = x \sqrt{x + 1}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

[f (a x + b)]^{'} = a f^{'} (a x + b)

(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}

{(\frac{1}{u})}^{'} = - \frac{u^{'}}{u^{2}}

(\sqrt{u})^{'} = \frac{u^{'}}{2 \sqrt{u}}