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MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Fonctions : Dérivée · Leçon 1

Dérivées usuelles

Nombre dérivé, tangente et formules de base.

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Cours de Mathématiques : « Dérivées usuelles », proposé par ndolomathndolomath

Dérivées usuelles

💡 Idée principale : Le nombre dérivé

f^{'} (a)

est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de

f

au point d’abscisse

a

. On calcule la fonction dérivée à l’aide d’un tableau de dérivées usuelles et des règles sur les sommes, produits et quotients.

Ce que tu vas apprendre

Connaître les dérivées des fonctions usuelles.
Dériver une somme, un produit par un réel, un produit et un quotient.
Écrire l’équation de la tangente en un point.

Pourquoi cette leçon ?

La vitesse d’une voiture à un instant précis, le coût supplémentaire pour produire un objet de plus : ce sont des nombres dérivés. Savoir dériver, c’est savoir mesurer une vitesse de variation.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule le coefficient directeur de la droite passant par

A (1; 2)

B (3; 8)

Calcule

f (2)

pour

f (x) = x^{2} - 3 x

Écris l’équation d’une droite de coefficient directeur 4 passant par

A (1; 3)

Situation problème : La pente de la route

Le profil d’une route en montée est modélisé par la courbe de $f (x) = 0, 1 x^{2}$ (en hectomètres). Un camionneur veut connaître la pente exacte de la route au point d’abscisse $x = 3$ .
Comment la calculer ?

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Activité d’apprentissage

On approche la tangente par des sécantes.

Calcule le coefficient directeur de la droite passant par les points d’abscisses 3 et 4 de la courbe, puis 3 et 3,1.
Vers quel nombre ces coefficients semblent-ils tendre ?
Compare avec $0, 2 \times 3$ .
Réponds à la situation problème.

Dérivées usuelles

(k)^{'} = 0

;

(x)^{'} = 1

;

(x^{2})^{'} = 2 x

;

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

;

{(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}

;

(\sqrt{x})^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

(

x > 0

Exemple à traiter : Dérive

x^{5}

x^{3}

\frac{1}{x}

\sqrt{x}

et 7.

R2 · Règles de calcul

(u + v)^{'} = u^{'} + v^{'}

;

(k u)^{'} = k u^{'}

;

(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

;

{(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}

Exemple à traiter : Dérive

f (x) = 3 x^{4} - 2 x^{2} + 5 x - 1

g (x) = (2 x + 1) (x - 3)

h (x) = \frac{x + 1}{x - 2}

Équation de la tangente

La tangente à la courbe de

f

au point d’abscisse

a

a pour équation

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)

Exemple à traiter : Écris l’équation de la tangente à la courbe de

f (x) = x^{2} - 3 x + 2

au point d’abscisse 1.

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Erreurs fréquentes

⚠ Dérivée d’un produit

(u v)^{'}

n’est pas

u^{'} v^{'}

⚠ Constante

La dérivée d’un nombre seul est 0.

Exercice d’application

Dérive $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .
Détermine les points de la courbe de $f (x) = x^{3} - 3 x$ où la tangente est horizontale.
Réponds à la situation problème.

À retenir

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

{(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}

(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

{(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}

. Tangente :

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)