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MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Fonction logarithme népérien · Leçon 4

Dérivée et primitives

Dériver ln u et trouver des primitives de u'/u.

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Cours de Mathématiques : « Dérivée et primitives », proposé par ndolomathndolomath

Dérivée de ln

💡 Idée principale : La dérivée de

\ln

est

x \mapsto \frac{1}{x}

; plus généralement

(\ln u)^{'} = \frac{u^{'}}{u}

lorsque

u > 0

. Réciproquement, une primitive de

\frac{u^{'}}{u}

est

\ln u

(ou

\ln | u |

). On en déduit les variations des fonctions avec

\ln

Ce que tu vas apprendre

Dériver une fonction de la forme $\ln u$ .
Étudier les variations d’une fonction comportant $\ln$ .
Déterminer une primitive de $\frac{u^{'}}{u}$ .

Pourquoi cette leçon ?

Pour étudier une fonction de coût ou de croissance qui contient un logarithme, il faut savoir la dériver.

Prérequis : vérifie tes bases

Dérive

x^{2} + 3 x

Étudie le signe de

\frac{x - 1}{x}

sur

] 0; + \infty [

Donne une primitive de

\frac{1}{x}

Situation problème : Le rendement de l’engrais

Un agronome modélise le rendement d’un champ de maïs (en tonnes) en fonction de la quantité $x$ d’engrais (en centaines de kg) par $R (x) = 2 \ln x - x + 5$ , pour $x \in [1; 6]$ .
Quelle quantité d’engrais donne le meilleur rendement ?

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Activité d’apprentissage

On étudie les variations de $R$ .

Calcule $R^{'} (x)$ et mets-la au même dénominateur.
Étudie le signe de $R^{'} (x)$ sur $[1; 6]$ .
Dresse le tableau de variation de $R$ .
Réponds à la situation problème.

Dérivée de ln

\ln

est dérivable sur

] 0; + \infty [

\ln^{'} (x) = \frac{1}{x} > 0

\ln

est strictement croissante. Si

u

est dérivable et strictement positive,

(\ln u)^{'} = \frac{u^{'}}{u}

Exemple à traiter : Dérive

f (x) = x \ln x

g (x) = \ln (x^{2} + 1)

h (x) = \frac{\ln x}{x}

R2 · Variations

On calcule la dérivée, on la met au même dénominateur, on étudie son signe (sur l’ensemble de définition) et on dresse le tableau de variation.

Exemple à traiter : Étudie les variations de

f (x) = x - \ln x

sur

] 0; + \infty [

Primitives

Une primitive de

x \mapsto \frac{1}{x}

sur

] 0; + \infty [

est

\ln x

. Si

u

est strictement positive, une primitive de

\frac{u^{'}}{u}

est

\ln u

Exemple à traiter : Détermine une primitive de

f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 3}

et de

g (x) = \frac{3}{3 x + 1}

sur

] 0; + \infty [

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Erreurs fréquentes

⚠ Dérivée de ln u

(\ln u)^{'} = \frac{u^{'}}{u}

, pas

\frac{1}{u}

⚠ Domaine

On étudie le signe de la dérivée seulement là où la fonction est définie.

Exercice d’application

Étudie les variations de $f (x) = \ln x - x^{2}$ sur $] 0; + \infty [$ .
Détermine la primitive de $\frac{1}{x} + 2 x$ qui vaut 1 en 1.
Réponds à la situation problème.

À retenir

(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}

(\ln u)^{'} = \frac{u^{'}}{u}

. Primitive de

\frac{u^{'}}{u}

\ln u