Cours
MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI
Chapitre : Fonction logarithme népérien · Leçon 3

Limites usuelles

Comportement de ln en 0 et en +∞.
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Limites de ln
💡 Idée principale : La fonction ln tend vers −∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives et vers +∞ quand x tend vers +∞, mais très lentement : ln⁡xx tend vers 0. Ces limites de référence permettent de calculer d’autres limites.
Ce que tu vas apprendre
  1. Connaître les limites de ln en 0 et en +∞.
  2. Connaître les limites limx→+∞ln⁡xx=0 et limx→0+xln⁡x=0.
  3. Calculer des limites de fonctions comportant ln.
Pourquoi cette leçon ?
La croissance logarithmique est très lente : il faut des nombres immenses pour que ln⁡x dépasse 20. Cette lenteur explique pourquoi l’échelle de Richter ou les décibels conviennent pour des grandeurs très variables.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Calcule à la calculatrice ln⁡10, ln⁡1000, ln⁡106.
2
Calcule ln⁡0,1, ln⁡0,001.
3
Calcule limx→+∞1x.
Situation problème : La lente croissance

Moussa affirme que ln⁡x finit toujours par dépasser x, puisque les deux tendent vers +∞. Sa camarade pense au contraire que ln⁡x devient « négligeable » devant x.
Qui a raison ?

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Activité d’apprentissage

On compare ln⁡x et x pour de grandes valeurs.

  1. Complète un tableau de ln⁡x et ln⁡xx pour x=10, 100, 1000, 106.
  2. Vers quoi semble tendre ln⁡xx ?
  3. Conclus sur la comparaison de ln⁡x et x.
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Limites de ln
limx→0+ln⁡x=−∞ ; limx→+∞ln⁡x=+∞. La courbe de ln admet l’axe des ordonnées comme asymptote verticale.
Exemple à traiter : Calcule limx→+∞(ln⁡x+x) et limx→0+(ln⁡x−3).
R2 · Croissances comparées
limx→+∞ln⁡xx=0 et limx→0+xln⁡x=0.
Exemple à traiter : Calcule limx→+∞(x−ln⁡x) en factorisant par x.
R3
Limites de ln u
Si limu(x)=+∞, alors limln⁡u(x)=+∞ ; si limu(x)=0+, alors limln⁡u(x)=−∞ ; si limu(x)=ℓ>0, alors limln⁡u(x)=ln⁡ℓ.
Exemple à traiter : Calcule limx→+∞ln⁡(x2+1) et limx→2+ln⁡(x−2).
Erreurs fréquentes
⚠ ln(0)
ln⁡0 n’existe pas : on parle de limite en 0+.
⚠ ∞ − ∞
Pour x−ln⁡x, on factorise par x.
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Exercice d’application
  1. Calcule limx→+∞ln⁡xx+2 et limx→0+(xln⁡x+1).
  2. Calcule les limites de f(x)=x−2ln⁡x en 0+ et en +∞.
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
ln⁡x→−∞ en 0+, →+∞ en +∞. ln⁡xx→0 en +∞, xln⁡x→0 en 0+.
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Préparation du PDF…