Cours

MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Fonction logarithme népérien · Leçon 2

Équations, inéquations et systèmes ayant pour inconnue auxiliaire ln

Résoudre en posant X = ln x.

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Cours de Mathématiques : « Équations, inéquations et systèmes ayant pour inconnue auxiliaire ln », proposé par ndolomathndolomath

Équations avec ln

💡 Idée principale : Pour résoudre une équation ou inéquation avec

\ln

, on détermine d’abord les conditions d’existence, puis on utilise :

\ln a = \ln b ⟺ a = b

\ln a < \ln b ⟺ a < b

(

a, b > 0

). Si

\ln x

apparaît au carré, on pose

X = \ln x

Ce que tu vas apprendre

Résoudre des équations du type $\ln u (x) = \ln v (x)$ et $\ln u (x) = k$ .
Résoudre des inéquations avec $\ln$ .
Résoudre des équations et systèmes en posant $X = \ln x$ .

Pourquoi cette leçon ?

Pour savoir au bout de combien de temps un capital double, ou à quelle profondeur l’intensité de la lumière est divisée par 10, on résout des équations avec des logarithmes.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous

X^{2} - 3 X + 2 = 0

Résous

x - 1 > 0

Simplifie

\ln (e^{3})

Situation problème : L’équation de Lucie

Lucie doit résoudre $(\ln x)^{2} - 3 \ln x + 2 = 0$ . Elle ne sait pas par où commencer car l’équation mélange $\ln x$ et son carré.
Comment la résoudre ?

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Activité d’apprentissage

On pose $X = \ln x$ .

Quelle est la condition d’existence ?
Écris l’équation en fonction de $X$ et résous-la.
Pour chaque valeur de $X$ , trouve $x$ tel que $\ln x = X$ .
Réponds à la situation problème.

Équations

Après avoir écrit les conditions d’existence :

\ln u = \ln v ⟺ u = v

;

\ln u = k ⟺ u = e^{k}

. On vérifie que les solutions respectent les conditions.

Exemple à traiter : Résous

\ln (2 x - 1) = \ln (x + 3)

\ln (x + 1) = 2

R2 · Inéquations

Comme

\ln

est strictement croissante :

\ln u < \ln v ⟺ u < v

(avec

u > 0

v > 0

) ;

\ln u < k ⟺ 0 < u < e^{k}

Exemple à traiter : Résous

\ln (x - 2) < \ln (5 - x)

\ln x \geq 1

Inconnue auxiliaire

On pose

X = \ln x

(avec

x > 0

), on résout l’équation ou le système en

X

, puis on revient à

x = e^{X}

Exemple à traiter : Résous

2 (\ln x)^{2} + \ln x - 1 = 0

et le système

{\begin{cases} \ln x + \ln y = 3 \\ \ln x - \ln y = 1 \end{cases}

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Erreurs fréquentes

⚠ Conditions d’existence

Une valeur qui rend une expression négative ou nulle sous le

\ln

doit être rejetée.

⚠ Retour à x

La réponse est

x = e^{X}

, pas

X

Exercice d’application

Résous $\ln x + \ln (x - 1) = \ln 6$ .
Résous $(\ln x)^{2} - 4 < 0$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Conditions d’existence d’abord.

\ln u = \ln v ⟺ u = v

;

\ln u = k ⟺ u = e^{k}

. Poser

X = \ln x

, puis

x = e^{X}