Cours

MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Fonction logarithme népérien · Leçon 1

Définition, ensemble de définition et propriétés algébriques

La fonction ln et ses règles de calcul.

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Cours de Mathématiques : « Définition, ensemble de définition et propriétés algébriques », proposé par ndolomathndolomath

Logarithme népérien

💡 Idée principale : La fonction logarithme népérien, notée

\ln

, est la primitive de

x \mapsto \frac{1}{x}

sur

] 0; + \infty [

qui s’annule en 1. Elle transforme les produits en sommes :

\ln (a b) = \ln a + \ln b

. Elle n’est définie que pour des nombres strictement positifs.

Ce que tu vas apprendre

Connaître la définition et l’ensemble de définition de $\ln$ .
Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction comportant $\ln$ .
Utiliser les propriétés algébriques : $\ln (a b)$ , $\ln (\frac{a}{b})$ , $\ln (a^{n})$ , $\ln \sqrt{a}$ .

Pourquoi cette leçon ?

Le logarithme a été inventé pour transformer de longues multiplications en additions. Il sert encore aujourd’hui pour mesurer l’intensité des séismes, le pH d’une solution ou le niveau sonore en décibels.

Prérequis : vérifie tes bases

Donne une primitive de

x^{2}

. Connais-tu une primitive de

\frac{1}{x}

Résous

2 x - 4 > 0

Simplifie

2^{3} \times 2^{5}

Situation problème : La table de Napier

Avant les calculatrices, on utilisait des tables de logarithmes. Un élève lit dans une table : $\ln 2 \approx 0,693$ et $\ln 3 \approx 1,099$ . Son professeur lui demande de trouver $\ln 6$ , $\ln 8$ et $\ln 1, 5$ sans calculatrice.
Comment faire ?

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Activité d’apprentissage

On utilise la propriété fondamentale du logarithme.

Vérifie à la calculatrice que $\ln 6 = \ln 2 + \ln 3$ .
Écris 8 comme une puissance de 2 et déduis-en $\ln 8$ .
Écris $1, 5$ comme un quotient et déduis-en $\ln 1, 5$ .
Réponds à la situation problème.

Définition

\ln

est la fonction définie sur

] 0; + \infty [

, dérivable, telle que

\ln^{'} (x) = \frac{1}{x}

\ln 1 = 0

. Le nombre

e \approx 2,718

vérifie

\ln e = 1

\ln (u (x))

existe si et seulement si

u (x) > 0

Exemple à traiter : Détermine l’ensemble de définition de

f (x) = \ln (x - 3)

et de

g (x) = \ln (4 - 2 x)

R2 · Propriétés algébriques

Pour

a > 0

b > 0

n

entier :

\ln (a b) = \ln a + \ln b

;

\ln (\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b

;

\ln (\frac{1}{a}) = - \ln a

;

\ln (a^{n}) = n \ln a

;

\ln \sqrt{a} = \frac{1}{2} \ln a

Exemple à traiter : Exprime en fonction de

\ln 2

\ln 5

\ln 10

\ln 0, 4

\ln 50

\ln \sqrt{20}

Simplifications

On utilise ces propriétés pour simplifier des expressions et écrire une somme de logarithmes comme le logarithme d’un seul nombre.

Exemple à traiter : Simplifie

A = \ln 12 - \ln 3 + 2 \ln 2

B = \ln (e^{2}) + \ln \frac{1}{e}

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Erreurs fréquentes

⚠ Logarithme d’une somme

\ln (a + b)

n’est pas

\ln a + \ln b

⚠ Nombre négatif

\ln (- 2)

n’existe pas.

Exercice d’application

Exprime $\ln 72$ en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ .
Détermine l’ensemble de définition de $f (x) = \ln (x^{2} - 1)$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

\ln

définie sur

] 0; + \infty [

\ln 1 = 0

\ln e = 1

\ln (a b) = \ln a + \ln b

\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b

\ln a^{n} = n \ln a