Cours

MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Etude des fonctions · Leçon 3

Fonctions logarithmes népériens et exponentielles

Étude complète de fonctions avec ln ou eˣ.

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Cours de Mathématiques : « Fonctions logarithmes népériens et exponentielles », proposé par ndolomathndolomath

Étude de fonctions ln et exp

💡 Idée principale : Pour étudier une fonction comportant

\ln

e^{x}

, on suit le même plan d’étude, en utilisant les limites usuelles, les croissances comparées et les dérivées

(\ln u)^{'} = \frac{u^{'}}{u}

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

Ce que tu vas apprendre

Étudier une fonction du type $a x + b + c \ln x$ ou $\frac{\ln x}{x}$ .
Étudier une fonction du type $(a x + b) e^{x}$ ou $a x + b + c e^{x}$ .
Tracer la courbe et interpréter dans une situation concrète.

Pourquoi cette leçon ?

Le rendement d’une culture, la croissance d’une plante, la vente d’un nouveau produit sont modélisés par des fonctions avec

\ln

e^{x}

. Savoir les étudier permet d’en prévoir le comportement.

Prérequis : vérifie tes bases

Dérive

x - \ln x

x e^{x}

Calcule

lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x}

Étudie le signe de

\frac{x - 1}{x}

sur

] 0; + \infty [

Situation problème : Les ventes du nouveau téléphone

Une entreprise lance un nouveau téléphone. Le nombre de ventes (en milliers) $t$ mois après le lancement est modélisé par $V (t) = 10 t e^{- 0, 5 t}$ .
À quel moment les ventes sont-elles maximales ? Que deviennent-elles à long terme ?

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Activité d’apprentissage

On étudie la fonction $V$ sur $[0; + \infty [$ .

Calcule $V^{'} (t)$ et factorise-la par $e^{- 0, 5 t}$ .
Étudie le signe de $V^{'} (t)$ et dresse le tableau de variation.
Calcule $lim_{t \to + \infty} V (t)$ .
Réponds à la situation problème.

Fonctions avec ln

On étudie sur

] 0; + \infty [

(ou là où l’argument du

\ln

est positif). Limites :

\ln x \to - \infty

0^{+}

\frac{\ln x}{x} \to 0

+ \infty

. Dérivée :

(\ln u)^{'} = \frac{u^{'}}{u}

Exemple à traiter : Étudie et représente

f (x) = x - 1 - \ln x

sur

] 0; + \infty [

R2 · Fonctions avec exp

On étudie sur

R

. Limites :

e^{x} \to 0

- \infty

x e^{x} \to 0

- \infty

\frac{e^{x}}{x} \to + \infty

+ \infty

. Dérivée :

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

; on factorise par l’exponentielle, toujours positive.

Exemple à traiter : Étudie et représente

g (x) = (x - 1) e^{x}

Interprétation

Dans une situation concrète, le maximum de la fonction donne la meilleure valeur, et la limite en

+ \infty

le comportement à long terme.

Exemple à traiter : Interprète le tableau de variation de

V

dans la situation des téléphones.

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Erreurs fréquentes

⚠ Domaine de ln

On n’étudie une fonction avec

\ln x

que pour

x > 0

⚠ Signe de l’exponentielle

e^{u}

est toujours positif : il ne change pas le signe de la dérivée.

Exercice d’application

Étudie et représente $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ .
Étudie et représente $g (x) = e^{x} - x - 1$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

ln : étude sur

] 0; + \infty [

(\ln u)^{'} = \frac{u^{'}}{u}

. exp :

(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}

, factoriser par

e^{u} > 0

. Utiliser les croissances comparées.