Cours

MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Etude des fonctions · Leçon 2

Fonctions rationnelles

Étude complète avec asymptotes.

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Cours de Mathématiques : « Fonctions rationnelles », proposé par ndolomathndolomath

Étude des rationnelles

💡 Idée principale : Pour étudier une fonction rationnelle, on ajoute au plan d’étude la recherche des valeurs interdites et des asymptotes (verticales, horizontales, obliques). Le tracé commence par les asymptotes.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle.
Calculer les limites aux bornes et déterminer les asymptotes.
Étudier les variations et tracer la courbe.

Pourquoi cette leçon ?

Le coût moyen d’une production ou la vitesse moyenne sur un trajet sont modélisés par des fonctions rationnelles, dont la courbe a des asymptotes.

Prérequis : vérifie tes bases

Quelle est la valeur interdite de

\frac{2 x + 1}{x - 1}

Dérive

\frac{2 x + 1}{x - 1}

Calcule

lim_{x \to + \infty} \frac{2 x + 1}{x - 1}

Situation problème : Le coût moyen du boulanger

Un boulanger a des frais fixes de 20 000 F par jour et chaque pain lui coûte 100 F. Le coût moyen (en centaines de F) pour $x$ centaines de pains est $C (x) = \frac{x + 2}{x}$ pour $x > 0$ .
Le coût moyen diminue-t-il quand la production augmente ? Vers quoi tend-il ?

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Activité d’apprentissage

On étudie $C$ sur $] 0; + \infty [$ .

Calcule les limites de $C$ en $0^{+}$ et en $+ \infty$ . Interprète graphiquement.
Calcule $C^{'} (x)$ et étudie son signe.
Dresse le tableau de variation et trace la courbe.
Réponds à la situation problème.

Ensemble de définition et asymptotes

On exclut les valeurs qui annulent le dénominateur. Une valeur interdite

a

avec limite infinie donne une asymptote verticale

x = a

; une limite finie

b

en l’infini donne une asymptote horizontale

y = b

Exemple à traiter : Détermine les asymptotes de la courbe de

f (x) = \frac{3 x - 1}{x + 2}

R2 · Variations

On dérive avec

{(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}

. Comme

v^{2} > 0

, le signe de la dérivée est celui de

u^{'} v - u v^{'}

Exemple à traiter : Étudie les variations de

f (x) = \frac{3 x - 1}{x + 2}

Étude complète

Plan : ensemble de définition, limites et asymptotes, dérivée et variations, tableau de variation, tracé (asymptotes d’abord, puis points remarquables).

Exemple à traiter : Étudie et représente

g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}

; montre que

y = x

est asymptote.

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Erreurs fréquentes

⚠ Oublier une asymptote

Chaque valeur interdite peut donner une asymptote verticale.

⚠ Signe de la dérivée

Le dénominateur

v^{2}

est positif : on étudie le numérateur.

Exercice d’application

Étudie et représente $f (x) = \frac{- x + 2}{x - 1}$ .
Étudie et représente $g (x) = x + \frac{4}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Valeurs interdites, asymptotes, dérivée

\frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}

, tableau, tracé en commençant par les asymptotes.