Cours

MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Etude des fonctions · Leçon 1

Fonctions polynômes

Plan d’étude et tracé.

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Cours de Mathématiques : « Fonctions polynômes », proposé par ndolomathndolomath

Étude des polynômes

💡 Idée principale : Pour étudier une fonction polynôme, on suit un plan : ensemble de définition, limites aux bornes, dérivée et tableau de variation, points particuliers (intersections avec les axes, tangentes), puis tracé de la courbe.

Ce que tu vas apprendre

Suivre le plan d’étude d’une fonction polynôme de degré 2 ou 3.
Dresser le tableau de variation complet.
Tracer la courbe et l’utiliser pour résoudre graphiquement une équation.

Pourquoi cette leçon ?

La trajectoire d’un ballon, le bénéfice d’une petite entreprise, le volume d’une boîte : ces situations sont modélisées par des polynômes dont il faut connaître la courbe.

Prérequis : vérifie tes bases

Dérive

f (x) = x^{3} - 3 x

Étudie le signe de

3 x^{2} - 3

Calcule

lim_{x \to + \infty} (x^{3} - 3 x)

Situation problème : Le bénéfice de l’atelier

Un atelier de couture estime que son bénéfice (en dizaines de milliers de F) pour $x$ dizaines de pagnes vendus est $B (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 9 x + 4$ , pour $x \in [0; 5]$ .
Pour quelle quantité le bénéfice est-il maximal ? Pour quelles quantités l’atelier perd-il de l’argent ?

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Activité d’apprentissage

On étudie la fonction $B$ sur $[0; 5]$ .

Calcule $B^{'} (x)$ et étudie son signe.
Dresse le tableau de variation de $B$ .
Trace la courbe de $B$ à l’aide d’un tableau de valeurs.
Réponds à la situation problème.

Plan d’étude

1. Ensemble de définition. 2. Limites aux bornes. 3. Dérivée et son signe. 4. Tableau de variation. 5. Points particuliers et tangentes. 6. Tracé.

Exemple à traiter : Étudie et représente

f (x) = x^{2} - 4 x + 3

R2 · Fonctions de degré 3

Une fonction de degré 3 a des limites infinies en

\pm \infty

; elle admet zéro ou deux extremums selon le signe de sa dérivée. Sa courbe possède un centre de symétrie.

Exemple à traiter : Étudie et représente

g (x) = x^{3} - 3 x + 2

Résolution graphique

Le nombre de solutions de

f (x) = m

est le nombre de points d’intersection de la courbe de

f

avec la droite horizontale

y = m

Exemple à traiter : À l’aide de la courbe de

g

, donne le nombre de solutions de

x^{3} - 3 x + 2 = 1

Erreurs fréquentes

⚠ Limites

En l’infini, on utilise le terme de plus haut degré.

⚠ Tracé

On place d’abord les extremums et les tangentes horizontales.

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Exercice d’application

Étudie et représente $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ .
Étudie et représente $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Plan :

D_{f}

, limites, dérivée, tableau de variation, points particuliers, tracé.

f (x) = m

: intersections avec

y = m