Cours

MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Equations, inéquations, systèmes · Leçon 4

Systèmes linéaires d’équations dans IR3

Trois équations, trois inconnues : la méthode du pivot.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Systèmes linéaires d’équations dans IR3 », proposé par ndolomathndolomath

Systèmes dans IR³

💡 Idée principale : Un système de trois équations à trois inconnues se résout par la méthode du pivot de Gauss : on élimine successivement des inconnues pour obtenir un système triangulaire, que l’on résout de bas en haut.

Ce que tu vas apprendre

Résoudre un système de trois équations à trois inconnues par substitution.
Utiliser la méthode du pivot de Gauss.
Mettre en équations un problème à trois inconnues.

Pourquoi cette leçon ?

Une commerçante veut retrouver le prix de trois produits à partir de trois tickets de caisse : il faut résoudre un système de trois équations.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous

{\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}

Remplace

z = 2

dans

y + 3 z = 8

et trouve

y

Calcule

2 (x + y + z) - (2 x + y - z)

Situation problème : Les trois tickets

Au marché, Awa achète 1 kg de riz, 1 kg de sucre et 1 L d’huile pour 2 100 F ; Bella achète 2 kg de riz, 1 kg de sucre et 2 L d’huile pour 3 900 F ; Clarisse achète 1 kg de riz, 2 kg de sucre et 3 L d’huile pour 4 400 F.
Quel est le prix de chaque produit ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Systèmes linéaires d’équations dans IR3 », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On note $x$ , $y$ , $z$ les prix du riz, du sucre et de l’huile.

Écris le système de trois équations.
Élimine $x$ dans la 2e et la 3e équation à l’aide de la 1re.
Résous le système de deux équations obtenu, puis trouve $x$ .
Réponds à la situation problème.

Système triangulaire

Un système de la forme

{\begin{cases} a x + b y + c z = d \\ b^{'} y + c^{'} z = d^{'} \\ c^{″} z = d^{″} \end{cases}

se résout de bas en haut : on trouve

z

, puis

y

, puis

x

Exemple à traiter : Résous

{\begin{cases} x + 2 y - z = 3 \\ y + z = 4 \\ 2 z = 6 \end{cases}

R2 · Méthode du pivot de Gauss

On garde la 1re équation et on remplace les autres par des combinaisons qui éliminent

x

; puis on élimine

y

dans la 3e. On obtient un système triangulaire équivalent.

Exemple à traiter : Résous

{\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2 x - y + z = 3 \\ x + 2 y - z = 2 \end{cases}

Problèmes

On choisit trois inconnues, on traduit l’énoncé par trois équations, on résout par le pivot et on vérifie dans le contexte.

Exemple à traiter : La somme de trois nombres est 20 ; le premier est le double du deuxième ; le troisième dépasse le deuxième de 4. Trouve ces nombres.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Systèmes linéaires d’équations dans IR3 », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Combinaisons

On doit garder un système équivalent : on combine avec l’équation pivot, sans la perdre.

⚠ Vérification

On vérifie la solution dans les trois équations de départ.

Exercice d’application

Résous ${\begin{cases} 2 x + y - z = 1 \\ x - y + 2 z = 5 \\ 3 x + 2 y + z = 10 \end{cases}$ .
Un fermier a des poules, des chèvres et des canards : 50 animaux, 140 pattes, et deux fois plus de poules que de canards. Combien de chaque ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Pivot de Gauss : éliminer

x

, puis

y

; résoudre le système triangulaire de bas en haut ; vérifier.