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MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Equations, inéquations, systèmes · Leçon 3

Systèmes linéaires d’équations dans IR²

Deux équations, deux inconnues.

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Cours de Mathématiques : « Systèmes linéaires d’équations dans IR² », proposé par ndolomathndolomath

Systèmes dans IR²

💡 Idée principale : Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues se résout par substitution, par combinaison ou avec la méthode des déterminants (Cramer). Il a une solution unique si son déterminant est non nul.

Ce que tu vas apprendre

Résoudre un système par substitution et par combinaison.
Calculer le déterminant d’un système et utiliser la méthode de Cramer.
Mettre un problème en équations et le résoudre.

Pourquoi cette leçon ?

Trouver le prix de deux articles à partir de deux factures, ou le nombre d’adultes et d’enfants à partir des entrées d’un spectacle : ces problèmes conduisent à des systèmes.

Prérequis : vérifie tes bases

Résous

3 x - 6 = 0

Calcule

2 \times 5 - 3 \times 4

Exprime

y

en fonction de

x

dans

2 x + y = 7

Situation problème : Le spectacle de fin d’année

Au spectacle de fin d’année du lycée, le billet adulte coûte 1 000 F et le billet enfant 500 F. On a vendu 240 billets pour une recette de 180 000 F.
Combien d’adultes et combien d’enfants ont assisté au spectacle ?

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Activité d’apprentissage

On note $x$ le nombre d’adultes et $y$ le nombre d’enfants.

Traduis les informations par deux équations.
Résous le système par substitution.
Vérifie ta réponse.
Réponds à la situation problème.

Substitution et combinaison

Substitution : on exprime une inconnue en fonction de l’autre dans une équation et on remplace dans l’autre. Combinaison : on multiplie les équations par des nombres choisis pour éliminer une inconnue en les additionnant.

Exemple à traiter : Résous

{\begin{cases} 2 x + 3 y = 8 \\ 5 x - y = 3 \end{cases}

par les deux méthodes.

R2 · Déterminant et méthode de Cramer

Pour

{\begin{cases} a x + b y = c \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} \end{cases}

D = a b^{'} - a^{'} b

. Si

D \neq 0

, la solution unique est

x = \frac{c b^{'} - c^{'} b}{D}

y = \frac{a c^{'} - a^{'} c}{D}

. Si

D = 0

, le système a zéro ou une infinité de solutions.

Exemple à traiter : Résous

{\begin{cases} 3 x - 2 y = 4 \\ x + 4 y = 6 \end{cases}

par la méthode de Cramer.

Mise en équation

1. Choisir les inconnues. 2. Traduire l’énoncé en équations. 3. Résoudre. 4. Vérifier et interpréter la solution dans le contexte.

Exemple à traiter : Deux cahiers et trois stylos coûtent 1 300 F ; trois cahiers et un stylo coûtent 1 600 F. Trouve le prix d’un cahier et d’un stylo.

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Erreurs fréquentes

⚠ Erreur de signe

En multipliant une équation, on multiplie tous ses termes, y compris le second membre.

⚠ Vérification

On vérifie la solution dans les deux équations.

Exercice d’application

Résous ${\begin{cases} 4 x - 6 y = 2 \\ 2 x - 3 y = 1 \end{cases}$ . Que remarques-tu ?
Un père a 30 ans de plus que son fils ; dans 5 ans, il aura le triple de l’âge de son fils. Quels sont leurs âges ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Substitution, combinaison ou Cramer.

D = a b^{'} - a^{'} b \neq 0

⇒ solution unique.