Cours
MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI
Chapitre : Equations, inéquations, systèmes · Leçon 2

Équations et inéquations faisant intervenir des inconnues auxiliaires

Changement d’inconnue pour simplifier.
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Cours de Mathématiques : « Équations et inéquations faisant intervenir des inconnues auxiliaires », proposé par ndolomathndolomath
Inconnues auxiliaires
💡 Idée principale : Certaines équations se simplifient en posant une nouvelle inconnue : par exemple X=x2 dans une équation bicarrée, ou X=1x. On résout l’équation en X, puis on revient à x en vérifiant les conditions.
Ce que tu vas apprendre
  1. Reconnaître une équation qui se ramène au second degré par un changement d’inconnue.
  2. Résoudre une équation bicarrée.
  3. Résoudre une inéquation à l’aide d’une inconnue auxiliaire.
Pourquoi cette leçon ?
Au lieu de traiter une équation compliquée, on la transforme en une équation que l’on sait déjà résoudre : c’est une stratégie très utilisée en mathématiques.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Résous X2−5X+4=0.
2
Résous x2=4 et x2=−1.
3
Calcule (x2)2.
Situation problème : Le jardin carré

M. Ngono possède un jardin carré de côté x mètres. Il calcule que x4−13x2+36=0 en utilisant une relation entre l’aire de son jardin et celle d’un autre terrain.
Quelles sont les valeurs possibles du côté de son jardin ?

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Activité d’apprentissage

On pose X=x2.

  1. Écris l’équation obtenue en fonction de X.
  2. Résous cette équation.
  3. Déduis-en les valeurs de x. Lesquelles conviennent pour une longueur ?
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Équation bicarrée
L’équation ax4+bx2+c=0 se ramène, en posant X=x2, à aX2+bX+c=0. Pour chaque solution X≥0, on obtient x=X ou x=−X ; une solution X<0 ne donne rien.
Exemple à traiter : Résous x4−5x2+4=0 et x4+3x2−4=0.
R2 · Autres changements d’inconnue
On peut poser X=1x, X=x, X=x+1x… On résout en X, puis on revient à x en respectant les conditions (x≠0, X≥0 pour X=x…).
Exemple à traiter : Résous x−5x+6=0 en posant X=x.
R3
Inéquations
On résout l’inéquation en X, puis on traduit les conditions obtenues sur X en conditions sur x.
Exemple à traiter : Résous x4−5x2+4<0.
Erreurs fréquentes
⚠ Oublier le retour
La réponse doit porter sur x, pas sur X.
⚠ Racine d’un négatif
x2=X n’a pas de solution si X<0.
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Exercice d’application
  1. Résous 2x4−7x2+3=0.
  2. Résous 1x2−3x+2=0.
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
Poser X, résoudre en X, revenir à x en vérifiant les conditions.
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Préparation du PDF…