Cours
MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI
Chapitre : Equations, inéquations, systèmes · Leçon 1

Équations et inéquations de degré 3 dans IR

Factoriser grâce à une racine évidente.
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Cours de Mathématiques : « Équations et inéquations de degré 3 dans IR », proposé par ndolomathndolomath
Degré 3
💡 Idée principale : Pour résoudre une équation de degré 3, on cherche une racine évidente α, on factorise le polynôme par (x−α), puis on résout l’équation de degré 2 obtenue. Pour une inéquation, on étudie le signe du produit dans un tableau.
Ce que tu vas apprendre
  1. Reconnaître une racine évidente d’un polynôme de degré 3.
  2. Factoriser un polynôme de degré 3 connaissant une racine (identification ou division).
  3. Résoudre une équation et une inéquation de degré 3 à l’aide d’un tableau de signes.
Pourquoi cette leçon ?
Le volume d’une boîte, certaines recettes ou certains bénéfices s’expriment par des polynômes de degré 3. Pour savoir quand ils atteignent une valeur donnée, il faut résoudre des équations de degré 3.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Résous x2−5x+6=0.
2
Développe (x−1)(x2+2x−3).
3
Étudie le signe de 2x−4.
Situation problème : Le bénéfice de la coopérative

Une coopérative agricole a calculé que son bénéfice (en centaines de milliers de francs) pour x tonnes de cacao vendues est P(x)=x3−6x2+11x−6.
Pour quelles quantités le bénéfice est-il nul ? Pour quelles quantités est-il positif ?

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Activité d’apprentissage

On étudie le polynôme P.

  1. Calcule P(1). Que peut-on en déduire ?
  2. Détermine les réels a, b, c tels que P(x)=(x−1)(ax2+bx+c).
  3. Résous P(x)=0.
  4. Dresse le tableau de signes de P(x) et réponds à la situation problème.
R1
Racine et factorisation
Si α est racine d’un polynôme P de degré 3 (P(α)=0), alors P(x)=(x−α)Q(x), où Q est un polynôme de degré 2. On cherche souvent α parmi −2,−1,1,2.
Exemple à traiter : Vérifie que −1 est racine de P(x)=x3+2x2−x−2, puis factorise P(x).
R2 · Équation de degré 3
Après factorisation, (x−α)Q(x)=0⟺x=α ou Q(x)=0. On résout Q(x)=0 avec le discriminant.
Exemple à traiter : Résous x3−3x2−4x+12=0 sachant que 2 est racine.
R3
Inéquation de degré 3
On factorise le polynôme, puis on étudie le signe de chaque facteur dans un tableau de signes, et on lit les solutions.
Exemple à traiter : Résous x3−3x2−4x+12≥0.
Erreurs fréquentes
⚠ Oublier une solution
La solution α fait partie des solutions de l’équation.
⚠ Signe d’un trinôme
Un trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines.
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Exercice d’application
  1. Résous 2x3−3x2−3x+2=0 sachant que 2 est racine.
  2. Résous x3−x<0.
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
Racine évidente α ⇒ P(x)=(x−α)Q(x). On résout Q(x)=0, puis on fait un tableau de signes pour les inéquations.
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Préparation du PDF…