Cours

MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI

Chapitre : Courbes représentatives · Leçon 3

Asymptotes

Droites dont la courbe se rapproche.

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Cours de Mathématiques : « Asymptotes », proposé par ndolomathndolomath

Asymptotes

💡 Idée principale : Une asymptote est une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment. Asymptote verticale

x = a

lorsque

f (x)

tend vers l’infini quand

x

tend vers

a

; asymptote horizontale

y = b

lorsque

f (x)

tend vers

b

en l’infini ; asymptote oblique

y = a x + b

lorsque

f (x) - (a x + b)

tend vers 0.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer les asymptotes verticales et horizontales d’une courbe.
Démontrer qu’une droite est asymptote oblique.
Étudier la position de la courbe par rapport à une asymptote.

Pourquoi cette leçon ?

Quand on trace la courbe d’une fonction rationnelle, elle semble « coller » à certaines droites sans jamais les toucher. Ces droites, les asymptotes, servent de guides pour le tracé.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x}

Calcule

lim_{x \to 2^{+}} \frac{1}{x - 2}

Étudie le signe de

\frac{3}{x - 1}

Situation problème : Les droites guides

En traçant à l’ordinateur la courbe de $f (x) = x + 1 + \frac{2}{x - 1}$ , Odile remarque deux droites dont la courbe se rapproche.
Quelles sont ces droites ? La courbe est-elle au-dessus ou au-dessous ?

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Activité d’apprentissage

On étudie le comportement de $f$ près de 1 et en l’infini.

Calcule les limites de $f$ à gauche et à droite de 1.
Calcule $lim_{x \to + \infty} [f (x) - (x + 1)]$ .
Étudie le signe de $f (x) - (x + 1)$ .
Réponds à la situation problème.

Asymptote verticale

lim_{x \to a} f (x) = + \infty

- \infty

(à gauche ou à droite), la droite

x = a

est asymptote verticale.

Exemple à traiter : Détermine l’asymptote verticale de la courbe de

f (x) = \frac{3 x}{x + 2}

R2 · Asymptote horizontale

lim_{x \to \pm \infty} f (x) = b

, la droite

y = b

est asymptote horizontale.

Exemple à traiter : Détermine l’asymptote horizontale de la courbe de

f (x) = \frac{3 x}{x + 2}

Asymptote oblique et position

lim_{x \to \pm \infty} [f (x) - (a x + b)] = 0

, la droite

y = a x + b

est asymptote oblique. Si

f (x) - (a x + b) > 0

, la courbe est au-dessus de l’asymptote ; si

< 0

, elle est au-dessous.

Exemple à traiter : Montre que

y = 2 x - 1

est asymptote à la courbe de

g (x) = 2 x - 1 + \frac{1}{x}

et étudie leur position.

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Erreurs fréquentes

⚠ Valeur interdite

Une valeur interdite donne une asymptote verticale si la limite est infinie.

⚠ Position

On étudie le signe de la différence

f (x) - (a x + b)

Exercice d’application

Détermine toutes les asymptotes de la courbe de $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$ .
Étudie la position de la courbe de $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ par rapport à son asymptote horizontale.
Réponds à la situation problème.

À retenir

lim_{a} f = \infty

x = a

lim_{\infty} f = b

y = b

f (x) - (a x + b) \to 0

: asymptote oblique ; son signe donne la position.