Cours
MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI
Chapitre : Courbes représentatives · Leçon 2

Centre de symétrie, axe de symétrie

Repérer les symétries pour tracer plus vite.
www.ndolomath.com
Cours de Mathématiques : « Centre de symétrie, axe de symétrie », proposé par ndolomathndolomath
Symétries d’une courbe
💡 Idée principale : La courbe d’une fonction peut admettre un axe de symétrie (droite x=a) ou un centre de symétrie (point Ω(a;b)). On le vérifie par des égalités sur f. Une fonction paire a pour axe de symétrie l’axe des ordonnées ; une fonction impaire a pour centre de symétrie l’origine.
Ce que tu vas apprendre
  1. Reconnaître une fonction paire ou impaire.
  2. Démontrer que la droite x=a est axe de symétrie d’une courbe.
  3. Démontrer qu’un point Ω(a;b) est centre de symétrie d’une courbe.
Pourquoi cette leçon ?
Les ailes d’un papillon, un logo ou un pont sont souvent symétriques. Pour une courbe, repérer une symétrie permet de n’en tracer que la moitié.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Calcule f(−2) et f(2) pour f(x)=x2+1.
2
Calcule f(−x) pour f(x)=x3.
3
Donne les coordonnées du milieu de [AB] avec A(1;3) et B(5;−1).
Situation problème : Le logo du club

Le club de mathématiques veut utiliser comme logo la courbe de f(x)=x2−4x+3. Le graphiste ne veut en dessiner qu’une moitié puis la compléter par symétrie.
Où doit-il placer l’axe de symétrie ?

www.ndolomath.com
p1
Cours de Mathématiques : « Centre de symétrie, axe de symétrie », proposé par ndolomathndolomath
Activité d’apprentissage

On cherche une droite x=a qui est axe de symétrie.

  1. Calcule f(1) et f(3), puis f(0) et f(4). Que remarques-tu ?
  2. Calcule f(2+h) et f(2−h).
  3. Conclus.
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Parité
f est paire si, pour tout x de Df, −x∈Df et f(−x)=f(x) : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. f est impaire si f(−x)=−f(x) : sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.
Exemple à traiter : Étudie la parité de f(x)=x4−2x2, g(x)=x3+x et h(x)=x2+x.
R2 · Axe de symétrie
La droite x=a est axe de symétrie de la courbe de f si, pour tout h tel que a+h∈Df : a−h∈Df et f(a−h)=f(a+h).
Exemple à traiter : Montre que la droite x=−1 est axe de symétrie de la courbe de f(x)=x2+2x−3.
R3
Centre de symétrie
Le point Ω(a;b) est centre de symétrie de la courbe de f si, pour tout h tel que a+h∈Df : a−h∈Df et f(a+h)+f(a−h)=2b.
Exemple à traiter : Montre que Ω(1;2) est centre de symétrie de la courbe de g(x)=2x−1x−1.
www.ndolomath.com
p2
Cours de Mathématiques : « Centre de symétrie, axe de symétrie », proposé par ndolomathndolomath
Erreurs fréquentes
⚠ Ensemble de définition
On vérifie d’abord que Df est symétrique.
⚠ Confusion
Paire ↔ axe des ordonnées ; impaire ↔ origine.
Exercice d’application
  1. Montre que la courbe de f(x)=x3−3x2+2 admet le point Ω(1;0) pour centre de symétrie.
  2. Étudie la parité de f(x)=xx2+1.
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
Axe x=a : f(a−h)=f(a+h). Centre Ω(a;b) : f(a+h)+f(a−h)=2b. Paire / impaire : axe (Oy) / centre O.
www.ndolomath.com
p3
Préparation du PDF…