Cours
MATHÉMATIQUES · Tle A-ABI
Chapitre : Courbes représentatives · Leçon 1

Dérivée et sens de variation

Le signe de f' donne les variations de f.
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Cours de Mathématiques : « Dérivée et sens de variation », proposé par ndolomathndolomath
Dérivée et variations
💡 Idée principale : Si la dérivée est positive sur un intervalle, la fonction y est croissante ; si elle est négative, la fonction est décroissante. Les valeurs où f′ s’annule en changeant de signe donnent les extremums (maximum ou minimum).
Ce que tu vas apprendre
  1. Étudier le signe de la dérivée.
  2. En déduire le sens de variation et dresser le tableau de variation.
  3. Déterminer les extremums d’une fonction et résoudre un problème d’optimisation simple.
Pourquoi cette leçon ?
Un commerçant veut fixer le prix qui lui donne le plus grand bénéfice ; un agriculteur veut la meilleure quantité d’engrais. Le tableau de variation de la fonction modélisant la situation donne la réponse.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Dérive f(x)=x2−4x+1.
2
Étudie le signe de 2x−4.
3
Étudie le signe de −3x2+3.
Situation problème : Le prix du jus

Une vendeuse de jus de bissap constate que si elle vend la bouteille à x centaines de francs (1≤x≤5), son bénéfice journalier (en milliers de F) est B(x)=−x2+6x−5.
À quel prix doit-elle vendre la bouteille pour gagner le plus ? Quel est alors son bénéfice ?

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Activité d’apprentissage

On étudie les variations de B sur [1;5].

  1. Calcule B′(x).
  2. Étudie le signe de B′(x) sur [1;5].
  3. Dresse le tableau de variation de B.
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Signe de la dérivée
Sur un intervalle I : si f′(x)>0, f est strictement croissante ; si f′(x)<0, f est strictement décroissante ; si f′(x)=0, f est constante.
Exemple à traiter : Étudie les variations de f(x)=x2−6x+2 sur R.
R2 · Tableau de variation
On calcule f′(x), on étudie son signe (tableau de signes), puis on indique les flèches de variation et les valeurs de f aux points importants et les limites aux bornes.
Exemple à traiter : Dresse le tableau de variation de g(x)=x3−3x+1.
R3
Extremums
Si f′ s’annule en a en changeant de signe, f(a) est un extremum : maximum si f′ passe de + à −, minimum si f′ passe de − à +.
Exemple à traiter : Détermine le maximum de h(x)=−2x2+8x et la valeur de x où il est atteint.
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Erreurs fréquentes
⚠ Signe de f au lieu de f'
Le sens de variation dépend du signe de f′, pas de celui de f.
⚠ Extremum
Il faut un changement de signe de f′.
Exercice d’application
  1. Étudie les variations de f(x)=xx+1 sur ]−1;+∞[.
  2. Avec une corde de 20 m, on délimite un enclos rectangulaire. Quelles dimensions donnent l’aire maximale ?
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
f′>0 : croissante ; f′<0 : décroissante. Changement de signe de f′ en a : extremum f(a).
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Préparation du PDF…