Cours

MATHÉMATIQUES · 6e

Chapitre : Triangles · Leçon 3

Droites particulières d’un triangle

Hauteur, médiane, bissectrice et médiatrice.

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Cours de Mathématiques : « Droites particulières d’un triangle », proposé par ndolomathndolomath

Droites du triangle

💡 Idée principale : Dans un triangle, on trace des droites remarquables : la hauteur (perpendiculaire à un côté passant par le sommet opposé), la médiane (sommet–milieu du côté opposé), la bissectrice (partage un angle en deux) et la médiatrice (perpendiculaire à un côté en son milieu).

Ce que tu vas apprendre

Tracer une hauteur d’un triangle.
Tracer une médiane d’un triangle.
Tracer une bissectrice et une médiatrice.
Distinguer ces quatre droites.

Pourquoi cette leçon ?

Pour calculer l’aire d’un champ triangulaire, il faut une hauteur. Pour placer un point à égale distance de trois villages, il faut les médiatrices. Chaque droite a son utilité.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis le milieu d’un segment.

Trace la perpendiculaire à une droite passant par un point.

Trace la bissectrice d’un angle.

Situation problème : Le champ triangulaire

M. Bello veut connaître l’aire de son champ triangulaire. Le géomètre lui dit qu’il faut mesurer « la hauteur ». Son fils pense qu’il suffit de relier un sommet au milieu du côté opposé.
A-t-il raison ? Quelle droite faut-il tracer ?

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Activité d’apprentissage

On trace un triangle $A B C$ .

Trace en rouge la droite passant par $A$ et perpendiculaire à $[B C]$ .
Trace en bleu la droite passant par $A$ et par le milieu de $[B C]$ .
Ces deux droites sont-elles confondues ?
Réponds à la situation problème.

Hauteur et médiane

• La hauteur issue de

A

est la droite passant par

A

et perpendiculaire à

(B C)

.
• La médiane issue de

A

est la droite passant par

A

et par le milieu de

[B C]

Exemple à traiter : Trace un triangle et ses trois hauteurs, puis ses trois médianes.

R2 · Bissectrice et médiatrice

• La bissectrice de l’angle

\hat{A}

partage cet angle en deux angles égaux.
• La médiatrice de

[B C]

est la perpendiculaire à

[B C]

en son milieu.

Exemple à traiter : Trace un triangle et la bissectrice de chacun de ses angles.

Cas du triangle isocèle

Dans un triangle isocèle en

A

, la hauteur, la médiane et la bissectrice issues de

A

et la médiatrice de la base sont la même droite (axe de symétrie).

Exemple à traiter : Construis un triangle isocèle et vérifie cette propriété.

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Erreurs fréquentes

⚠ Hauteur = médiane

En général, la hauteur ne passe pas par le milieu du côté.

⚠ Médiane et médiatrice

La médiane passe par un sommet ; la médiatrice est perpendiculaire au côté.

Exercice d’application

Trace un triangle avec un angle obtus et ses trois hauteurs (prolonge les côtés si nécessaire).
Trace un triangle et les médiatrices de ses côtés. Que remarques-tu ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Hauteur : perpendiculaire au côté, par le sommet opposé. Médiane : sommet–milieu. Bissectrice : partage l’angle. Médiatrice : perpendiculaire au milieu.