Cours de Mathématiques : « Droites particulières dans un triangle », proposé par ndolomathndolomath
Droites remarquables
💡 Idée principale : Dans un triangle, on trace quatre familles de droites remarquables : les médiatrices des côtés, les hauteurs, les médianes et les bissectrices. Chaque famille a ses propriétés ; les trois médiatrices se coupent au centre du cercle circonscrit.
Ce que tu vas apprendre
Tracer les médiatrices, les hauteurs, les médianes et les bissectrices d’un triangle.
Distinguer ces quatre droites.
Construire le cercle circonscrit à un triangle.
Pourquoi cette leçon ?
Pour placer un château d’eau à égale distance de trois villages, on utilise les médiatrices ; pour mesurer l’aire d’un champ, une hauteur. Chaque droite du triangle a son utilité.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Construis la médiatrice d’un segment.
2
Construis la bissectrice d’un angle.
3
Trace la perpendiculaire à une droite passant par un point.
Situation problème : Le château d’eau
Trois villages , , de la région du Centre veulent partager un château d’eau placé à la même distance de chacun des trois villages. Où faut-il construire le château d’eau ?
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Activité d’apprentissage
On trace un triangle .
Trace en rouge la médiatrice de chaque côté. Que remarques-tu ?
Trace en bleu la hauteur issue de , en vert la médiane issue de et en noir la bissectrice de .
Le point commun des médiatrices est-il à égale distance de , et ? Justifie.
Réponds à la situation problème.
R1
Médiatrices
La médiatrice d’un côté est la perpendiculaire à ce côté en son milieu. Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un point , à égale distance des trois sommets : c’est le centre du cercle circonscrit.
Exemple à traiter : Construis le cercle circonscrit à un triangle de côtés 5 cm, 6 cm et 7 cm.
R2 · Hauteurs et médianes
• La hauteur issue d’un sommet passe par ce sommet et est perpendiculaire au côté opposé. • La médiane issue d’un sommet joint ce sommet au milieu du côté opposé.
Exemple à traiter : Dans un triangle , trace la hauteur et la médiane issues de .
R3
Bissectrices
La bissectrice d’un angle du triangle partage cet angle en deux angles égaux.
Exemple à traiter : Trace les trois bissectrices d’un triangle. Que remarques-tu ?
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Erreurs fréquentes
⚠ Confondre médiane et médiatrice
La médiane passe par un sommet ; la médiatrice ne passe généralement pas par un sommet.
⚠ Hauteur qui coupe au milieu
La hauteur ne passe par le milieu du côté que dans certains triangles (isocèle, équilatéral).
Exercice d’application
Dans un triangle isocèle de sommet , trace la hauteur, la médiane, la médiatrice et la bissectrice issues de ou relatives à . Que remarques-tu ?
Construis le cercle circonscrit à un triangle rectangle. Où est son centre ?
Réponds à la situation problème.
À retenir
Médiatrice : perpendiculaire au milieu d’un côté. Hauteur : par un sommet, perpendiculaire au côté opposé. Médiane : sommet–milieu du côté opposé. Bissectrice : partage l’angle en deux.