Propriétés de conservation des symétries

Longueurs, angles, alignement et aires sont conservés.

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Cours de Mathématiques : « Propriétés de conservation des symétries », proposé par ndolomathndolomath

Ce que conservent les symétries

💡 Idée principale : Les symétries (axiale et centrale) conservent les longueurs, les mesures d’angles, l’alignement des points, les milieux et les aires. L’image d’une figure lui est superposable.

Ce que tu vas apprendre

Connaître les propriétés de conservation des symétries.
Utiliser ces propriétés pour construire rapidement une image.
Utiliser ces propriétés pour justifier une égalité de longueurs ou d’angles.

Pourquoi cette leçon ?

Quand un menuisier découpe deux pièces symétriques pour une porte à deux battants, il sait qu’elles auront exactement les mêmes dimensions. C’est une propriété des symétries.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis le symétrique d’un segment par rapport à une droite.

Construis le symétrique d’un point par rapport à un point.

Mesure un angle au rapporteur.

Situation problème : La porte à deux battants

Un menuisier de Ebolowa fabrique une porte à deux battants symétriques par rapport à l’axe vertical. Le battant gauche mesure 0,9 m de large et 2,1 m de haut, et un motif triangulaire y est dessiné avec un angle de 40°.
Quelles sont les dimensions du battant droit ? Quel est l’angle du motif symétrique ?

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Activité d’apprentissage

On construit l’image d’un triangle $A B C$ par une symétrie axiale, puis par une symétrie centrale.

Mesure les côtés et les angles du triangle $A B C$ et de ses images. Que remarques-tu ?
Place trois points alignés et construis leurs symétriques. Sont-ils alignés ?
Place le milieu $I$ de $[A B]$ . Son symétrique est-il le milieu de l’image de $[A B]$ ?
Réponds à la situation problème.

Conservation

Une symétrie (axiale ou centrale) conserve :
• les longueurs ;
• les mesures d’angles ;
• l’alignement et les milieux ;
• les aires et les périmètres.

Exemple à traiter : Le symétrique d’un rectangle de 5 cm sur 3 cm est-il un rectangle ? Quelles sont ses dimensions et son aire ?

R2 · Images de figures

• L’image d’une droite est une droite ; l’image d’un segment est un segment de même longueur.
• L’image d’un cercle est un cercle de même rayon, dont le centre est l’image du centre.
• Par une symétrie centrale, l’image d’une droite est une droite parallèle.

Exemple à traiter : Construis l’image d’un cercle de centre

O

et de rayon 2 cm par la symétrie de centre

A

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Utiliser les propriétés

Pour construire l’image d’un polygone, il suffit de construire les images de ses sommets et de les relier. On peut justifier des égalités grâce aux propriétés de conservation.

Exemple à traiter :

A^{'}

B^{'}

sont les symétriques de

A

B

par rapport à

O

. Justifie que

A^{'} B^{'} = A B

et que

(A^{'} B^{'}) ∥ (A B)

Erreurs fréquentes

⚠ Image plus grande

Une symétrie ne change jamais la taille d’une figure.

⚠ Orientation

La symétrie axiale « retourne » la figure ; la centrale la fait tourner d’un demi-tour.

Exercice d’application

Construis le symétrique d’un parallélogramme par rapport à une droite. Quelle est la nature de l’image ?
Construis l’image d’un triangle équilatéral par une symétrie centrale. Justifie que l’image est équilatérale.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Les symétries conservent les longueurs, les angles, l’alignement, les milieux et les aires.