Cours

MATHÉMATIQUES · 5e

Chapitre : Sphère · Leçon 2

Relations métriques dans la sphère

Aire de la sphère et volume de la boule.

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Cours de Mathématiques : « Relations métriques dans la sphère », proposé par ndolomathndolomath

Mesures de la sphère

💡 Idée principale : L’aire d’une sphère de rayon

r

est

4 π r^{2}

et le volume de la boule correspondante est

\frac{4}{3} π r^{3}

. La section d’une sphère par un plan est un cercle dont le rayon se calcule avec Pythagore.

Ce que tu vas apprendre

Calculer l’aire d’une sphère.
Calculer le volume d’une boule.
Calculer le rayon d’une section plane d’une sphère.

Pourquoi cette leçon ?

Quelle quantité de cuir pour fabriquer un ballon ? Combien d’eau dans un réservoir sphérique ? Les formules de la sphère permettent de répondre.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule

3^{2}

3^{3}

Calcule l’aire d’un disque de rayon 5 cm.

Énonce le théorème de Pythagore.

Situation problème : Le château d’eau sphérique

Un château d’eau a un réservoir en forme de boule de 3 m de rayon. On doit repeindre l’extérieur du réservoir ; un pot de peinture couvre 12 m².
Combien de litres d’eau contient le réservoir plein ? Combien de pots faut-il acheter ?

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Activité d’apprentissage

On utilise les formules de la sphère pour le réservoir de rayon $r = 3$ m.

Calcule l’aire d’un grand cercle du réservoir. Combien de fois cette aire faut-il pour obtenir $4 π r^{2}$ ?
Calcule l’aire de la sphère.
Calcule le volume de la boule en m³, puis en litres.
Réponds à la situation problème.

Aire de la sphère

L’aire d’une sphère de rayon

r

est :

A = 4 π r^{2}

C’est quatre fois l’aire d’un grand cercle.

Exemple à traiter : Calcule l’aire d’une sphère de rayon 5 cm (valeur exacte, puis arrondie au cm²).

R2 · Volume de la boule

Le volume d’une boule de rayon

r

est :

V = \frac{4}{3} π r^{3}

Exemple à traiter : Calcule le volume d’une boule de rayon 6 cm, puis d’une bille de 1 cm de diamètre.

Section par un plan

La section d’une sphère de centre

O

et de rayon

r

par un plan situé à la distance

d

du centre (

d < r

) est un cercle de rayon

r^{'}

tel que

r^{' 2} = r^{2} - d^{2}

Exemple à traiter : Une sphère de rayon 10 cm est coupée par un plan à 6 cm du centre. Calcule le rayon de la section.

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Erreurs fréquentes

⚠ Oublier le cube

Le volume utilise

r^{3}

, l’aire utilise

r^{2}

⚠ Diamètre au lieu du rayon

Les formules utilisent le rayon : on divise le diamètre par 2.

Exercice d’application

Un ballon a un diamètre de 22 cm. Calcule son aire et son volume.
Une orange de rayon 4 cm est coupée à 2 cm de son centre. Calcule le rayon de la tranche.
Réponds à la situation problème.

À retenir

Aire de la sphère :

4 π r^{2}

. Volume de la boule :

\frac{4}{3} π r^{3}

. Section à la distance

d

r^{' 2} = r^{2} - d^{2}