Cours

MATHÉMATIQUES · 5e

Chapitre : Fractions · Leçon 5

Encadrement des fractions

Situer une fraction entre deux entiers ou deux décimaux.

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Cours de Mathématiques : « Encadrement des fractions », proposé par ndolomathndolomath

Encadrer une fraction

💡 Idée principale : Encadrer une fraction, c’est trouver deux nombres simples entre lesquels elle se trouve. La division euclidienne donne un encadrement entre deux entiers consécutifs ; la division décimale donne des encadrements plus précis.

Ce que tu vas apprendre

Encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs.
Encadrer une fraction par deux décimaux (au dixième, au centième).
Donner une valeur approchée et un arrondi d’une fraction.

Pourquoi cette leçon ?

Le partage de 22 F entre 7 personnes ne tombe pas juste. Savoir que chacun reçoit entre 3,14 F et 3,15 F permet de faire un partage le plus juste possible.

Prérequis : vérifie tes bases

Effectue la division euclidienne de 22 par 7.

Pose la division décimale de 22 par 7 jusqu’au centième.

Arrondis 3,147 au centième.

Situation problème : Le partage de l’héritage

Un terrain de 22 hectares doit être partagé équitablement entre 7 héritiers.
Chaque héritier recevra-t-il plus ou moins de 3 hectares ? Plus ou moins de 3,2 hectares ? Donne la part de chacun arrondie au centième d’hectare.

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Activité d’apprentissage

On étudie la fraction $\frac{22}{7}$ .

Effectue la division euclidienne de 22 par 7. Entre quels entiers consécutifs se trouve $\frac{22}{7}$ ?
Pose la division décimale. Entre quels nombres avec un chiffre après la virgule se trouve $\frac{22}{7}$ ?
Fais de même avec deux chiffres après la virgule.
Réponds à la situation problème.

Encadrement par deux entiers

a = b q + r

avec

0 \leq r < b

, alors

q \leq \frac{a}{b} < q + 1

Exemple à traiter : Encadre par deux entiers consécutifs :

\frac{47}{6}

;

\frac{100}{13}

R2 · Encadrement décimal

En posant la division décimale, on obtient des encadrements au dixième, au centième… :

3, 14 < \frac{22}{7} < 3, 15

.
Le nombre de gauche est une valeur approchée par défaut, celui de droite par excès.

Exemple à traiter : Encadre

\frac{5}{3}

au dixième, puis au centième.

Arrondi

L’arrondi d’une fraction à une précision donnée est la valeur approchée la plus proche. On regarde le chiffre suivant : s’il est 5 ou plus, on arrondit par excès.

Exemple à traiter : Donne l’arrondi au centième de

\frac{2}{7}

et de

\frac{11}{6}

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Erreurs fréquentes

⚠ Arrondi et troncature

Tronquer coupe les chiffres ; arrondir choisit la valeur la plus proche.

⚠ Mauvais sens

\frac{a}{b} > 1

, l’encadrement entier ne commence pas par 0.

Exercice d’application

Encadre $\frac{58}{9}$ par deux entiers consécutifs, puis au centième.
Donne la valeur approchée par défaut au dixième et l’arrondi au centième de $\frac{17}{3}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Division euclidienne :

q \leq \frac{a}{b} < q + 1

. La division décimale donne des encadrements plus fins ; l’arrondi est la valeur la plus proche.