Cours

MATHÉMATIQUES · 5e

Chapitre : Distances · Leçon 3

Caractérisation de la médiatrice d’un segment par les distances

Les points à égale distance des extrémités.

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Cours de Mathématiques : « Caractérisation de la médiatrice d’un segment par les distances », proposé par ndolomathndolomath

Médiatrice et distances

💡 Idée principale : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. C’est aussi l’ensemble des points situés à égale distance des deux extrémités du segment.

Ce que tu vas apprendre

Construire la médiatrice d’un segment à la règle et au compas.
Utiliser la propriété : un point de la médiatrice est équidistant des extrémités.
Utiliser la réciproque pour démontrer qu’un point est sur une médiatrice.

Pourquoi cette leçon ?

On veut construire un puits à égale distance de deux maisons, ou placer un poteau à égale distance de deux arbres. Tous les endroits possibles forment la médiatrice du segment qui relie les deux points.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis le milieu d’un segment.

Trace la perpendiculaire à une droite en un point.

Que signifie « équidistant » ?

Situation problème : Le puits du quartier

Deux familles habitent aux points $A$ et $B$ , distants de 80 m. Elles veulent creuser un puits commun, à la même distance de chacune des deux maisons.
Où peuvent-elles le creuser ? Y a-t-il une seule possibilité ?

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Activité d’apprentissage

On trace un segment $[A B]$ de 6 cm.

Trace la droite perpendiculaire à $[A B]$ en son milieu $I$ .
Place trois points $M$ , $N$ , $P$ sur cette droite. Mesure $M A$ et $M B$ , $N A$ et $N B$ , $P A$ et $P B$ . Que remarques-tu ?
Place un point $Q$ en dehors de cette droite. Compare $Q A$ et $Q B$ .
Réponds à la situation problème.

Définition et construction

La médiatrice d’un segment

[A B]

est la droite perpendiculaire à

[A B]

passant par son milieu.
Construction au compas : deux arcs de même rayon (plus grand que la moitié de

A B

), centrés en

A

et en

B

, se coupent en deux points qui définissent la médiatrice.

Exemple à traiter : Construis au compas la médiatrice d’un segment de 7 cm.

R2 · Propriété directe

Si un point appartient à la médiatrice de

[A B]

, alors il est à égale distance de

A

et de

B

Exemple à traiter :

M

est sur la médiatrice de

[A B]

M A = 5

cm. Que vaut

M B

Propriété réciproque

Si un point est à égale distance de

A

et de

B

, alors il appartient à la médiatrice de

[A B]

Exemple à traiter :

A B C

est un triangle isocèle en

C

. Démontre que

C

est sur la médiatrice de

[A B]

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Erreurs fréquentes

⚠ Médiatrice et médiane

La médiatrice est perpendiculaire au segment ; la médiane d’un triangle passe par un sommet.

⚠ Arcs trop petits

Si le rayon est inférieur à la moitié de

A B

, les arcs ne se coupent pas.

Exercice d’application

Trace un triangle $A B C$ , puis les médiatrices de $[A B]$ et $[A C]$ . Elles se coupent en $O$ . Démontre que $O A = O B = O C$ .
Construis le cercle passant par $A$ , $B$ et $C$ .
Réponds à la situation problème par une construction à l’échelle.

À retenir

Un point est sur la médiatrice de

[A B]

⟺ il est à égale distance de

A

et de

B