Cours

MATHÉMATIQUES · 5e

Chapitre : Distances · Leçon 2

Inégalité triangulaire

Le chemin direct est toujours le plus court.

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Cours de Mathématiques : « Inégalité triangulaire », proposé par ndolomathndolomath

💡 Idée principale : Dans un triangle, chaque côté est plus court que la somme des deux autres. On peut donc savoir, avant de tracer, si trois longueurs permettent de construire un triangle.

Ce que tu vas apprendre

Énoncer l’inégalité triangulaire.
Savoir si un triangle est constructible avec trois longueurs données.
Reconnaître le cas d’égalité (points alignés).

Pourquoi cette leçon ?

Pourquoi coupe-t-on à travers un terrain au lieu de suivre ses deux côtés ? Parce que le chemin direct est le plus court. C’est l’inégalité triangulaire.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis un triangle de côtés 4 cm, 5 cm et 6 cm.

Énonce la propriété :

M \in [A B] ⟺ A M + M B = A B

Range dans l’ordre croissant : 7 ; 3,5 ; 4,2.

Situation problème : Les bâtonnets de Lucie

Lucie a trois lots de bâtonnets : lot A (3 cm, 5 cm, 9 cm), lot B (4 cm, 6 cm, 10 cm) et lot C (5 cm, 6 cm, 8 cm). Elle veut construire un triangle avec chaque lot.
Avec quels lots peut-elle réussir ?

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Activité d’apprentissage

On essaie de construire un triangle avec chaque lot.

Essaie de construire le triangle avec le lot A. Que se passe-t-il ?
Fais de même avec les lots B et C.
Pour chaque lot, compare la plus grande longueur avec la somme des deux autres.
Énonce une règle pour savoir si un triangle est constructible.

Inégalité triangulaire

Pour trois points

A

B

C

A C \leq A B + B C

L’égalité

A C = A B + B C

a lieu si et seulement si

B

est sur le segment

[A C]

Exemple à traiter : Sans construire, compare

A C

A B + B C

pour un triangle

A B C

non aplati.

R2 · Triangle constructible

Un triangle de côtés

a

b

c

est constructible si et seulement si la plus grande longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres. Si elle est égale, le triangle est « aplati » (points alignés).

Exemple à traiter : Peut-on construire un triangle de côtés 5 cm, 7 cm, 13 cm ? 6 cm, 8 cm, 10 cm ? 3 cm, 4 cm, 7 cm ?

Encadrer un côté

Si deux côtés mesurent

a

b

(avec

a \geq b

), le troisième côté

c

vérifie :

a - b < c < a + b

Exemple à traiter : Deux côtés d’un triangle mesurent 5 cm et 8 cm. Entre quelles valeurs se trouve le troisième côté ?

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Erreurs fréquentes

⚠ Comparer avec le mauvais côté

On compare toujours la plus grande longueur à la somme des deux autres.

⚠ Oublier le cas aplati

Si la plus grande longueur est égale à la somme, on n’obtient pas un vrai triangle.

Exercice d’application

Peut-on construire un triangle $E F G$ avec $E F = 4, 5$ , $F G = 2, 3$ , $E G = 6, 8$ ? Justifie.
Un triangle isocèle a deux côtés de 6 cm. Quelles valeurs peut prendre le troisième côté ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

Dans un triangle, chaque côté est plus petit que la somme des deux autres. Triangle constructible ⟺ plus grand côté < somme des deux autres.