Cours

MATHÉMATIQUES · 5e

Chapitre : Distances · Leçon 1

Caractérisation d’un segment par les distances

Un point est sur [AB] si AM + MB = AB.

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Cours de Mathématiques : « Caractérisation d’un segment par les distances », proposé par ndolomathndolomath

Point d’un segment

💡 Idée principale : Un point

M

appartient au segment

[A B]

si et seulement si la somme des distances

A M + M B

est égale à

A B

. Sinon,

A M + M B

est plus grande que

A B

Ce que tu vas apprendre

Caractériser l’appartenance d’un point à un segment par les distances.
Utiliser cette propriété pour justifier un alignement.
Calculer une longueur à partir de cette égalité.

Pourquoi cette leçon ?

Pour savoir si un village se trouve exactement sur la route droite entre deux villes, il suffit de comparer les distances : si on ne fait aucun détour, le village est sur le segment.

Prérequis : vérifie tes bases

Mesure les longueurs d’un segment

[A B]

et place un point

M

sur ce segment.

Que signifie « trois points alignés » ?

Calcule

3, 5 + 4, 2

Situation problème : Le village sur la route

La route droite entre Yaoundé et Mbalmayo mesure 47 km. Le village d’Ekali est à 18 km de Yaoundé et à 29 km de Mbalmayo. Le village de Nkolmebanga est à 20 km de Yaoundé et à 30 km de Mbalmayo.
Lequel de ces villages se trouve sur la route droite ?

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Activité d’apprentissage

On trace un segment $[A B]$ de 8 cm.

Place un point $M$ sur $[A B]$ . Mesure $A M$ et $M B$ . Calcule $A M + M B$ .
Place un point $N$ en dehors de $[A B]$ . Calcule $A N + N B$ . Compare avec $A B$ .
Que peux-tu conclure ?
Réponds à la situation problème.

Propriété

Un point

M

appartient au segment

[A B]

si et seulement si :

A M + M B = A B

Exemple à traiter : On donne

A B = 10

cm,

A M = 4

cm et

M B = 6

cm. Le point

M

est-il sur

[A B]

R2 · Point hors du segment

M

n’appartient pas au segment

[A B]

, alors

A M + M B > A B

Exemple à traiter : On donne

E F = 7

cm,

E G = 3

cm et

G F = 5

cm. Le point

G

est-il sur

[E F]

Calculer une longueur

M \in [A B]

, on peut calculer une longueur manquante :

M B = A B - A M

Exemple à traiter :

M

est sur

[A B]

avec

A B = 12, 5

cm et

A M = 4, 8

cm. Calcule

M B

Erreurs fréquentes

⚠ Appliquer sans vérifier

On ne peut écrire

M B = A B - A M

que si

M

est sur le segment.

⚠ Confondre segment et droite

Un point de la droite

(A B)

en dehors de

[A B]

ne vérifie pas

A M + M B = A B

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Exercice d’application

On donne $R S = 9$ , $R T = 4$ et $T S = 5$ . Les points $R$ , $S$ , $T$ sont-ils alignés ? Justifie.
$K$ est un point de $[P Q]$ avec $P Q = 15$ cm et $K Q = 6, 4$ cm. Calcule $P K$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

M \in [A B]

⟺

A M + M B = A B

. Si

M \notin [A B]

, alors

A M + M B > A B