Cours

MATHÉMATIQUES · 5e

Chapitre : Cercle · Leçon 3

Positions relatives de deux cercles

Comparer la distance des centres et les rayons.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Positions relatives de deux cercles », proposé par ndolomathndolomath

Positions de deux cercles

💡 Idée principale : La position de deux cercles dépend de la distance

d

entre leurs centres et de leurs rayons

r

r^{'}

. Ils peuvent être extérieurs, tangents, sécants ou l’un à l’intérieur de l’autre.

Ce que tu vas apprendre

Reconnaître les différentes positions de deux cercles.
Déterminer la position de deux cercles par le calcul.
Construire deux cercles dans une position donnée.

Pourquoi cette leçon ?

Deux zones d’arrosage, deux zones couvertes par des antennes, deux roues d’engrenage : se chevauchent-elles, se touchent-elles, ou sont-elles séparées ? On le sait en comparant des distances.

Prérequis : vérifie tes bases

Trace deux cercles de rayons 2 cm et 3 cm dont les centres sont à 4 cm.

Calcule

2 + 3

3 - 2

Rappelle les régions du plan définies par un cercle.

Situation problème : Les arroseurs du terrain

Sur le terrain de football du lycée, deux arroseurs sont placés à 18 m l’un de l’autre. Le premier arrose jusqu’à 10 m, le second jusqu’à 7 m.
Les zones arrosées se chevauchent-elles ? Et si on rapprochait les arroseurs à 17 m ? à 15 m ?

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Positions relatives de deux cercles », proposé par ndolomathndolomath

Activité d’apprentissage

On trace un cercle de centre $O$ et de rayon 3 cm, et un cercle de centre $O^{'}$ et de rayon 2 cm.

Trace la figure pour $O O^{'} = 6$ cm, 5 cm, 3 cm, 1 cm et 0,5 cm.
Dans chaque cas, compte les points communs aux deux cercles.
Compare $O O^{'}$ avec $3 + 2$ et $3 - 2$ dans chaque cas.
Réponds à la situation problème.

Cercles extérieurs ou tangents extérieurement

Soient deux cercles de rayons

r \geq r^{'}

d

la distance des centres :
• si

d > r + r^{'}

: cercles extérieurs (aucun point commun) ;
• si

d = r + r^{'}

: cercles tangents extérieurement (un point commun).

Exemple à traiter : Deux cercles ont des rayons de 4 cm et 2 cm. Quelle est leur position si leurs centres sont distants de 7 cm ? de 6 cm ?

R2 · Cercles sécants

r - r^{'} < d < r + r^{'}

: les cercles sont sécants (deux points communs).

Exemple à traiter : Deux cercles de rayons 5 cm et 3 cm ont leurs centres à 4 cm. Sont-ils sécants ?

Cercles intérieurs

• Si

d = r - r^{'}

(avec

r \neq r^{'}

) : tangents intérieurement.
• Si

d < r - r^{'}

: le petit cercle est intérieur au grand.
• Si

d = 0

: cercles concentriques.

Exemple à traiter : Deux cercles de rayons 6 cm et 2 cm ont leurs centres à 4 cm, puis à 1 cm. Donne leur position.

www.ndolomath.com

Cours de Mathématiques : « Positions relatives de deux cercles », proposé par ndolomathndolomath

Erreurs fréquentes

⚠ Additionner sans réfléchir

Il faut comparer

d

à la fois avec

r + r^{'}

et avec

r - r^{'}

⚠ Confondre tangents

Tangents extérieurement :

d = r + r^{'}

; intérieurement :

d = r - r^{'}

Exercice d’application

Construis deux cercles de rayons 3 cm et 2 cm tangents extérieurement, puis tangents intérieurement.
Deux cercles de rayons 7 cm et 4 cm sont sécants. Entre quelles valeurs se trouve la distance de leurs centres ?
Réponds à la situation problème.

À retenir

On compare la distance des centres

d

avec

r + r^{'}

r - r^{'}

: extérieurs, tangents, sécants ou intérieurs.