Cours

MATHÉMATIQUES · 5e

Chapitre : Cercle · Leçon 2

Régionnement du plan par un cercle

Comparer la distance au centre et le rayon.

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Cours de Mathématiques : « Régionnement du plan par un cercle », proposé par ndolomathndolomath

Intérieur et extérieur d’un cercle

💡 Idée principale : Un cercle partage le plan en trois régions : les points du cercle (distance au centre égale au rayon), les points intérieurs (distance plus petite) et les points extérieurs (distance plus grande).

Ce que tu vas apprendre

Distinguer cercle et disque.
Situer un point par rapport à un cercle en comparant sa distance au centre et le rayon.
Représenter des régions du plan définies par des distances.

Pourquoi cette leçon ?

Un téléphone capte le réseau s’il est à moins de 5 km d’une antenne. Les zones couvertes sont des disques ; le bord est un cercle. On repère ainsi qui capte et qui ne capte pas.

Prérequis : vérifie tes bases

Trace un cercle de centre

O

et de rayon 3 cm.

Mesure la distance entre deux points.

Que signifie

O M < 3

Situation problème : L’antenne de téléphone

Une antenne placée au centre d’un village couvre une zone de 4 km de rayon. Le chef de village note les distances à l’antenne : école 2,5 km, dispensaire 4 km, marché 5,2 km.
Ces lieux captent-ils le réseau ? Lequel est juste à la limite ?

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Activité d’apprentissage

On trace un cercle $(C)$ de centre $O$ et de rayon 4 cm.

Place des points $A$ , $B$ , $C$ tels que $O A = 2, 5$ cm, $O B = 4$ cm et $O C = 5, 2$ cm.
Où se trouve chaque point par rapport au cercle ?
Colorie la région des points $M$ tels que $O M < 4$ cm.
Réponds à la situation problème.

Cercle et disque

• Le cercle de centre

O

et de rayon

r

est l’ensemble des points

M

tels que

O M = r

.
• Le disque est l’ensemble des points

M

tels que

O M \leq r

(le cercle et son intérieur).

Exemple à traiter : Trace le disque de centre

A

et de rayon 2,5 cm et colorie-le.

R2 · Trois régions

• Si

O M < r

M

est à l’intérieur du cercle.
• Si

O M = r

M

est sur le cercle.
• Si

O M > r

M

est à l’extérieur du cercle.

Exemple à traiter : Un cercle a un rayon de 3 cm. Situe les points

E

F

G

tels que

O E = 2, 9

cm,

O F = 3

cm,

O G = 3, 1

cm.

Régions définies par plusieurs conditions

On peut représenter des régions comme « à moins de 3 cm de

A

et à plus de 2 cm de

B

» en coloriant les parties communes.

Exemple à traiter : Colorie la région des points situés à moins de 3 cm de

A

et à moins de 3 cm de

B

, avec

A B = 4

cm.

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Erreurs fréquentes

⚠ Confondre cercle et disque

Le cercle est la ligne ; le disque est la surface.

⚠ Comparer avec le diamètre

On compare la distance au centre avec le rayon.

Exercice d’application

Place deux points $A$ et $B$ distants de 5 cm. Colorie les points à moins de 3 cm de $A$ et à plus de 3 cm de $B$ .
Trace deux cercles concentriques de rayons 2 cm et 4 cm. Colorie la région comprise entre eux.
Réponds à la situation problème.

À retenir

O M < r

: intérieur ;

O M = r

: sur le cercle ;

O M > r

: extérieur. Le disque est le cercle et son intérieur.