Cours

MATHÉMATIQUES · 5e

Chapitre : Cercle · Leçon 1

Cercle circonscrit à un triangle

Le cercle qui passe par les trois sommets.

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Cours de Mathématiques : « Cercle circonscrit à un triangle », proposé par ndolomathndolomath

Cercle circonscrit

💡 Idée principale : Les trois médiatrices des côtés d’un triangle se coupent en un même point

O

, à égale distance des trois sommets. Le cercle de centre

O

passant par les sommets est le cercle circonscrit au triangle.

Ce que tu vas apprendre

Savoir que les médiatrices d’un triangle sont concourantes.
Construire le cercle circonscrit à un triangle.
Connaître la position du centre selon la nature du triangle.

Pourquoi cette leçon ?

Trois maisons

A

B

C

veulent installer un lampadaire à la même distance de chacune. Ce point est le centre du cercle qui passe par les trois maisons.

Prérequis : vérifie tes bases

Construis la médiatrice d’un segment au compas.

Énonce la propriété caractéristique de la médiatrice.

Trace un cercle de centre et de rayon donnés.

Situation problème : Le lampadaire du quartier

Trois concessions $A$ , $B$ , $C$ d’un quartier de Kousseri forment un triangle. Les habitants veulent un lampadaire à égale distance des trois concessions.
Où le placer ? À quelle distance sera-t-il de chaque concession si $A B = 60$ m, $B C = 80$ m, $A C = 100$ m ?

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Activité d’apprentissage

On trace un triangle $A B C$ .

Construis les médiatrices de $[A B]$ et de $[B C]$ . Elles se coupent en $O$ .
Justifie que $O A = O B$ , puis que $O B = O C$ .
Déduis-en que $O$ est sur la médiatrice de $[A C]$ . Vérifie par une construction.
Trace le cercle de centre $O$ passant par $A$ . Que remarques-tu ?

Médiatrices concourantes

Les trois médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes en un point

O

tel que

O A = O B = O C

Exemple à traiter : Construis les trois médiatrices d’un triangle de côtés 6 cm, 7 cm et 8 cm.

R2 · Cercle circonscrit

Le cercle de centre

O

et de rayon

O A

passe par les trois sommets : c’est le cercle circonscrit au triangle. Pour le construire, il suffit de tracer deux médiatrices.

Exemple à traiter : Construis le cercle circonscrit à un triangle

E F G

avec

E F = 5

cm,

F G = 6

cm,

\hat{F} = 100 °

Position du centre

• Triangle à angles aigus :

O

est à l’intérieur.
• Triangle rectangle :

O

est le milieu de l’hypoténuse.
• Triangle avec un angle obtus :

O

est à l’extérieur.

Exemple à traiter : Construis le cercle circonscrit à un triangle rectangle de côtés 6 cm, 8 cm, 10 cm. Quel est son rayon ?

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Erreurs fréquentes

⚠ Centre mal placé

Le centre est l’intersection des médiatrices, pas des médianes ni des bissectrices.

⚠ Rayon quelconque

Le rayon est la distance de

O

à un sommet.

Exercice d’application

Construis le cercle circonscrit à un triangle équilatéral de côté 6 cm.
Construis le cercle circonscrit à un triangle ayant un angle obtus. Où est le centre ?
Réponds à la situation problème (construis à l’échelle 1 cm pour 10 m).

À retenir

Les médiatrices d’un triangle se coupent au centre du cercle circonscrit, équidistant des trois sommets. Triangle rectangle : centre au milieu de l’hypoténuse.