PPCM de deux entiers naturels

Le plus petit multiple commun pour les rencontres.

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Cours de Mathématiques : « PPCM de deux entiers naturels », proposé par ndolomathndolomath

PPCM

💡 Idée principale : Le PPCM de deux nombres est le plus petit de leurs multiples communs non nuls. Il sert à trouver quand deux événements réguliers se reproduisent ensemble et à additionner des fractions.

Ce que tu vas apprendre

Déterminer le PPCM de deux nombres avec les listes de multiples.
Déterminer le PPCM avec les décompositions en facteurs premiers.
Utiliser le PPCM pour résoudre des problèmes et réduire des fractions au même dénominateur.

Pourquoi cette leçon ?

Deux amis font le tour d’un terrain à des vitesses différentes : quand se retrouveront-ils au point de départ ? Deux cloches sonnent à des rythmes différents : quand sonneront-elles ensemble ? Le PPCM répond.

Prérequis : vérifie tes bases

Écris les dix premiers multiples de 4 et de 6.

Décompose 12 et 18 en facteurs premiers.

Calcule

\frac{1}{4} + \frac{1}{6}

Situation problème : Les deux coureurs

Sur le terrain de sport du lycée, Junior fait un tour en 6 minutes et Brice en 8 minutes. Ils partent ensemble de la ligne de départ.
Au bout de combien de minutes se retrouveront-ils ensemble sur la ligne de départ pour la première fois ? Combien de tours aura fait chacun ?

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Activité d’apprentissage

On cherche le plus petit multiple commun non nul de 6 et 8.

Écris les multiples de 6 et de 8 inférieurs à 60.
Quels sont les multiples communs ? Quel est le plus petit ?
Décompose 6 et 8. Multiplie tous les facteurs avec le plus grand exposant. Compare.
Réponds à la situation problème.

Définition

Le PPCM de deux entiers naturels non nuls est le plus petit multiple commun non nul à ces deux nombres. On le note

PPCM (a; b)

Exemple à traiter : Détermine

PPCM (4; 10)

PPCM (5; 7)

avec les listes de multiples.

R2 · Avec les facteurs premiers

On décompose les deux nombres, puis on fait le produit de tous les facteurs premiers qui apparaissent, chacun avec le plus grand exposant.

Exemple à traiter :

12 = 2^{2} \times 3

18 = 2 \times 3^{2}

. Calcule

PPCM (12; 18)

Dénominateur commun

Pour additionner deux fractions, on peut prendre le PPCM des dénominateurs comme dénominateur commun.

Exemple à traiter : Calcule

\frac{5}{12} + \frac{7}{18}

Erreurs fréquentes

⚠ Multiplier les nombres

6 \times 8 = 48

est un multiple commun, mais le PPCM est 24.

⚠ Mauvais exposant

Pour le PPCM, on garde le plus grand exposant de chaque facteur.

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Exercice d’application

Calcule $PPCM (15; 20)$ et $PPCM (9; 12)$ .
Calcule $\frac{4}{15} + \frac{3}{20}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

PPCM = plus petit multiple commun non nul. Avec les facteurs premiers : tous les facteurs, plus grands exposants.