Cours
MATHÉMATIQUES · 5e
Chapitre : Arithmétique · Leçon 7

PGCD de deux entiers naturels

Le plus grand diviseur commun pour partager équitablement.
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Cours de Mathématiques : « PGCD de deux entiers naturels », proposé par ndolomathndolomath
PGCD
💡 Idée principale : Le PGCD de deux nombres est le plus grand de leurs diviseurs communs. On l’obtient avec les listes de diviseurs ou avec les décompositions en facteurs premiers. Il sert à faire des partages en parts égales et à simplifier des fractions.
Ce que tu vas apprendre
  1. Déterminer le PGCD de deux nombres avec les listes de diviseurs.
  2. Déterminer le PGCD avec les décompositions en facteurs premiers.
  3. Utiliser le PGCD pour simplifier une fraction et résoudre des problèmes de partage.
Pourquoi cette leçon ?
Faire le plus grand nombre de paquets identiques avec des mangues et des oranges, découper des carreaux carrés les plus grands possible dans une planche : le PGCD donne la réponse.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Écris la liste des diviseurs de 18 et de 30.
2
Décompose 72 en produit de facteurs premiers.
3
Simplifie 1830.
Situation problème : Les paniers de fruits

Pour la fête de l’école, Mme Bilong dispose de 54 mangues et de 72 oranges. Elle veut préparer le plus grand nombre possible de paniers identiques, en utilisant tous les fruits.
Combien de paniers fera-t-elle ? Que contiendra chaque panier ?

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Activité d’apprentissage

On cherche le plus grand diviseur commun à 54 et 72.

  1. Écris la liste des diviseurs de 54 et de 72.
  2. Entoure les diviseurs communs. Quel est le plus grand ?
  3. Décompose 54 et 72 en facteurs premiers. Multiplie les facteurs communs avec le plus petit exposant. Compare.
  4. Réponds à la situation problème.
R1
Définition
Le PGCD de deux entiers naturels non nuls est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres. On le note PGCD(a;b).
Exemple à traiter : Détermine PGCD(20;30) et PGCD(14;21) avec les listes de diviseurs.
R2 · Avec les facteurs premiers
On décompose les deux nombres, puis on fait le produit des facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit exposant.
Exemple à traiter : 84=22×3×7 et 126=2×32×7. Calcule PGCD(84;126).
R3
Simplifier une fraction
En divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD, on obtient directement la fraction irréductible.
Exemple à traiter : Rends irréductible 84126 en une seule étape.
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Erreurs fréquentes
⚠ Prendre un diviseur commun quelconque
Le PGCD est le plus grand des diviseurs communs.
⚠ Mauvais exposant
Pour le PGCD, on garde le plus petit exposant de chaque facteur commun.
Exercice d’application
  1. Calcule PGCD(90;150) par la méthode de ton choix.
  2. Rends irréductible 90150.
  3. Réponds à la situation problème.
À retenir
PGCD = plus grand diviseur commun. Avec les facteurs premiers : facteurs communs, plus petits exposants.
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Préparation du PDF…