Cours de Mathématiques : « Nombres premiers et décomposition », proposé par ndolomathndolomath
Nombres premiers
💡 Idée principale : Un nombre premier n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Tout entier supérieur ou égal à 2 peut s’écrire comme un produit de nombres premiers : c’est sa décomposition en facteurs premiers.
Ce que tu vas apprendre
Reconnaître un nombre premier.
Trouver les nombres premiers inférieurs à 100 (crible d’Ératosthène).
Décomposer un entier en produit de facteurs premiers.
Pourquoi cette leçon ?
Les nombres premiers sont les « briques » avec lesquelles on construit tous les autres nombres par multiplication. Ils servent aujourd’hui à protéger les messages et les paiements par téléphone.
Prérequis : vérifie tes bases
1
Écris la liste des diviseurs de 12, de 13 et de 15.
2
Rappelle les critères de divisibilité par 2, 3 et 5.
3
Écris avec des puissances.
Situation problème : Les rangées de chaises
Pour une réunion à la chefferie, on veut disposer 23 chaises en plusieurs rangées identiques, chaque rangée ayant au moins 2 chaises. On essaie ensuite avec 24 chaises. Pourquoi est-ce impossible avec 23 chaises et possible de plusieurs façons avec 24 ?
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Activité d’apprentissage
On cherche les nombres qui n’ont que deux diviseurs.
Écris la liste des diviseurs de chaque nombre de 2 à 20.
Entoure les nombres qui ont exactement deux diviseurs.
Sur une grille de 1 à 100, barre 1, puis les multiples de 2 (sauf 2), de 3 (sauf 3), de 5 (sauf 5), de 7 (sauf 7). Quels nombres restent ?
Réponds à la situation problème.
R1
Nombre premier
Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Le nombre 1 n’est pas premier ; 2 est le seul nombre premier pair. Nombres premiers inférieurs à 50 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
Exemple à traiter : Parmi 21, 29, 39, 41, 51, 57, 61, lesquels sont premiers ?
R2 · Tester si un nombre est premier
On essaie de diviser le nombre par les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11… tant que leur carré ne dépasse pas le nombre. Si aucune division ne tombe juste, le nombre est premier.
Exemple à traiter : 91 et 97 sont-ils premiers ?
R3
Décomposition
Tout entier supérieur ou égal à 2 s’écrit comme un produit de nombres premiers. On divise successivement par 2, 3, 5, 7… : .
Exemple à traiter : Décompose en produit de facteurs premiers : 36 ; 90 ; 210.
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Erreurs fréquentes
⚠ 1 premier ?
1 n’a qu’un seul diviseur : il n’est pas premier.
⚠ Nombre impair = premier ?
9, 15 ou 21 sont impairs mais pas premiers.
Exercice d’application
Donne tous les nombres premiers compris entre 50 et 80.
Décompose 120 et 252 en produits de facteurs premiers.
Réponds à la situation problème.
À retenir
Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Tout entier se décompose en produit de facteurs premiers.