Cours

MATHÉMATIQUES · 5e

Chapitre : Arithmétique · Leçon 4

Calculs des puissances entières

Priorités et règles de calcul.

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Cours de Mathématiques : « Calculs des puissances entières », proposé par ndolomathndolomath

Calculer avec les puissances

💡 Idée principale : Dans un calcul, les puissances sont prioritaires sur les multiplications et les additions. On sait aussi multiplier et diviser des puissances de même base en ajoutant ou en soustrayant les exposants.

Ce que tu vas apprendre

Respecter la priorité des puissances dans un calcul.
Multiplier des puissances de même base.
Diviser des puissances de même base.
Calculer avec les puissances de 10.

Pourquoi cette leçon ?

Pour comparer de très grands nombres ou simplifier des calculs, il est utile de savoir manipuler les puissances sans tout développer.

Prérequis : vérifie tes bases

Calcule :

2^{4}

;

3^{3}

;

10^{4}

Calcule :

5 + 3 \times 4

Écris

7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7

sous forme de puissance.

Situation problème : Le pari des deux frères

Ali dit à son frère : « $2^{3} \times 2^{4}$ , c’est $2^{12}$ ! » Son frère répond : « Non, c’est $2^{7}$ . » Leur sœur ajoute : « Et $3 + 2^{3}$ , ça fait $5^{3}$ . »
Qui a raison ? Comment le vérifier ?

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Activité d’apprentissage

On vérifie les affirmations par le calcul.

Écris $2^{3}$ et $2^{4}$ comme des produits de 2, puis $2^{3} \times 2^{4}$ comme un seul produit. Combien y a-t-il de facteurs 2 ?
Calcule $2^{7}$ et $2^{12}$ . Qui a raison ?
Calcule $3 + 2^{3}$ en respectant les priorités, puis $5^{3}$ . Compare.
Écris $\frac{2^{6}}{2^{2}}$ comme un seul produit de 2, puis comme une seule puissance.

Priorités

Dans un calcul sans parenthèses, on effectue d’abord les puissances, puis les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions.

Exemple à traiter : Calcule :

A = 2 + 3^{2}

;

B = 4 \times 2^{3}

;

C = (4 \times 2)^{3}

;

D = 10^{2} - 3^{4}

R2 · Produit et quotient de puissances

Pour une même base

a

(non nulle pour le quotient) et des exposants

m > n

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n} \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}

Exemple à traiter : Écris sous forme d’une seule puissance :

5^{3} \times 5^{2}

;

10^{4} \times 10^{5}

;

\frac{3^{8}}{3^{5}}

Puissance d’un produit

(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}

. Par exemple,

2^{3} \times 5^{3} = 10^{3} = 1 000

Exemple à traiter : Calcule astucieusement :

4^{5} \times 25^{5}

;

2^{6} \times 5^{6}

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Erreurs fréquentes

⚠ Multiplier les exposants

a^{3} \times a^{4} = a^{7}

, on additionne les exposants.

⚠ Additionner des puissances

2^{3} + 2^{4}

ne vaut pas

2^{7}

: on calcule chaque puissance.

Exercice d’application

Calcule : $E = 3 \times 2^{4} - 5^{2}$ ; $F = (3 + 2)^{2} - 3^{2} - 2^{2}$ .
Écris sous forme d’une seule puissance : $7^{2} \times 7^{5} \times 7$ ; $\frac{10^{9}}{10^{3}}$ .
Réponds à la situation problème.

À retenir

Les puissances sont prioritaires. Même base :

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}